例1#

（1） 设 $P(A)=0.5$，$P(A\cup B)=0.8$，且 $A,B$ 互不相容，求 $P(B)$。

（2） 设 $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{4}$，$P(AC)=\dfrac{1}{8}$，$P(AB)=P(BC)=0$，求 ”$A,B,C$ 至少发生一个” 的概率。

【分析】

① “四大公式”

• 加法公式

  1. $P(A\cup B)$ 的含义：”$A,B$ 至少发生一个”。（问：$A\cup B\cup C$ 呢？）
  2. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
  3. $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

  口诀：“加奇减偶”。

【解】

（1） 由 $A,B$ 互不相容，则 $AB=\varnothing$，又 $P(A\cup B)=0.8$

$\Rightarrow P(A)+P(B)-P(AB)=0.8$

$\therefore P(B)=0.8-P(A)=0.8-0.5=0.3$

补充：$ABC \subseteq AB$，$P(ABC) \leq P(AB) = 0$（互不相容），所以 $P(ABC)=0$。

（2） ”$A,B,C$ 至少发生一个” $= P(A\cup B\cup C)$

$= P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

$= \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-0-\dfrac{1}{8}-0+0 = \dfrac{5}{8}$

例2#

设 $P(A)=0.7$，$P(A-B)=0.3$，求 $P(\overline{AB})$。

【分析】

① 减法公式：$P(A-B)=P(A)-P(AB)$

② 对立事件：$P(\overline{A})=1-P(A)$

【解】

① 由 $P(A-B)=0.3 \Rightarrow P(A)-P(AB)=0.3$

$\Rightarrow P(AB)=P(A)-0.3=0.7-0.3=0.4$

② $P(\overline{AB})=1-P(AB)=1-0.4=0.6$

例3#

设 $P(B)=0.4$，$P(A\cup B)=0.5$，求 $P(A|\overline{B})$。

【分析】

① 条件概率公式：$P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$

② $P(A-B)=P(A)-P(AB)$

【解】

1. 由 $P(B)=0.4$，$P(A\cup B)=0.5$，则：

$P(A)+P(B)-P(AB)=0.5$

$\Rightarrow P(A)-P(AB)=0.5-P(B)=0.5-0.4=0.1$

$P(A|\overline{B}) = \dfrac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \dfrac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)} = \dfrac{0.1}{1-0.4} = \dfrac{1}{6}$

例4#

设 $A,B$ 相互独立，$P(B)=0.4$，$P(A\cup B)=0.5$，求 $P(\overline{B}|A)$。

【分析】

① $A$ 与 $B$ 独立 $\Longleftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 互不影响 $\Longleftrightarrow$ $P(B|A)=P(B)$

$\Longleftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$

② $A$ 与 $B$ 独立 $\Longleftrightarrow$ $B$ 是否发生不受 $A$ 的影响 $\Longleftrightarrow$ $\overline{B}$ 与 $A$，$\overline{B}$ 与 $\overline{A}$，$B$ 与 $\overline{A}$ 独立

$\Longleftrightarrow P(\overline{B}|A)=P(\overline{B})$

口诀：“有爸无爸，对妈独立无影响”。

【解】

法一：由 $A,B$ 独立 $\Rightarrow P(AB)=P(A)P(B)=0.4P(A)$

而 $P(A\cup B)=0.5 \Rightarrow P(A)+P(B)-P(AB)=0.5$

$\Rightarrow P(A)+0.4-0.4P(A)=0.5 \Rightarrow P(A)=\dfrac{1}{4}$

$P(\overline{B}|A)=\dfrac{P(A\overline{B})}{P(A)}=\dfrac{P(A)-P(AB)}{P(A)}=\dfrac{P(A)-0.4P(A)}{P(A)}=0.6$

法二：由 $A,B$ 独立 $\Rightarrow$ $\overline{B}$ 与 $A$ 独立

$\Rightarrow P(\overline{B}|A)=P(\overline{B})=1-P(B)=1-0.4=0.6$

例1#

袋中有 5 只白球，6 只黑球，从中任取 2 球，求：

1. 取到 1 白 1 黑 的概率；
2. 至少取到 1 只黑球的概率。

【分析】

① 古典型概率：事件 $A$ 发生的概率公式：

$P(A)=\dfrac{A\text{ 中可能的点数}}{\Omega\text{ 中可能的点数}}$

② 排列：$A_{11}^{2}$ 表示从 11 个不同元素中任取 2 个排成一列的排法：$A_{11}^{2}=11\times 10$

组合：$C_{11}^{2}$ 表示从 11 个不同元素中任取 2 个（不计顺序）的取法：$C_{11}^{2}=\dfrac{11\times 10}{2!}$

【解】

（1）法一 设 $A$ = “取到 1 黑 1 白球”，$\Omega$ = “从 11 球中任取 2 球”（不计顺序，一次取 2 球）

$P(A)=\dfrac{C_{5}^{1}\cdot C_{6}^{1}}{C_{11}^{2}}=\dfrac{5\times 6}{\dfrac{11\times 10}{2!}}=\dfrac{6}{11}$

（分步相乘，分类相加）

法二 设 $A$ = “取到 1 黑 1 白球”，$\Omega$ = “从 11 球中任取 2 球”（共取 2 次，一次取 1 球，分类：“先白后黑” + “先黑后白”）

$P(A)=\dfrac{A_{5}^{1}\cdot A_{6}^{1}+A_{6}^{1}\cdot A_{5}^{1}}{A_{11}^{2}}=\dfrac{5\times 6+6\times 5}{11\times 10}=\dfrac{6}{11}$

答案是一样的。

（2） 设 $B$ = “至少取到 1 只黑球”，$\overline{B}$ = “2 只球均为白球”（不计顺序）

$P(B)=1-P(\overline{B})=1-\dfrac{C_{5}^{2}}{C_{11}^{2}}=1-\dfrac{\dfrac{5\times 4}{2!}}{\dfrac{11\times 10}{2!}}=1-\dfrac{2}{11}=\dfrac{9}{11}$

例1#

甲袋中有 5 只红球、4 只白球；乙袋中有 4 只红球、5 只白球。先从甲中任取 1 只球放入乙中，再从乙中取 1 只球，求：

1. 从乙中取到的球是白球的概率；
2. 若已知从乙中取到 1 白球，问从甲中取到的球是白球的概率。

【解】

（1） 第 1 阶段：甲→乙

• $B_{1}=$ 从甲中取到红球，$P(B_{1})=\dfrac{5}{9}$
• $B_{2}=$ 从甲中取到白球，$P(B_{2})=\dfrac{4}{9}$

第 2 阶段：从乙中取 1 球，$A=$ “从乙中取到白球”

由全概率公式：

$P(A)=P(B_{1})P(A|B_{1})+P(B_{2})P(A|B_{2})=\dfrac{5}{9}\times\dfrac{5}{10}+\dfrac{4}{9}\times\dfrac{6}{10}=\dfrac{49}{90}$

（2） 由题意（贝叶斯公式）：

$P(B_{2}|A)=\dfrac{P(B_{2}A)}{P(A)}=\dfrac{P(B_{2})P(A|B_{2})}{49/90}=\dfrac{\dfrac{4}{9}\times\dfrac{6}{10}}{49/90}=\dfrac{24}{49}$

例2#

已知男性中有 $5\%$ 是色盲，女性中有 $0.25\%$ 是色盲，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲，问此人是男性的概率。

【解】

第一阶段：从人群中选人

• $B_{1}=$ “选到男性”
• $B_{2}=$ “选到女性”

第二阶段：判断此人是否色盲，$A=$ “发现此人是色盲”

① 全概率公式：

$P(A)=P(B_{1})P(A|B_{1})+P(B_{2})P(A|B_{2})=\dfrac{1}{2}\times 5\%+\dfrac{1}{2}\times 0.25\%=\dfrac{21}{800}$

② 贝叶斯公式：

$P(B_{1}|A)=\dfrac{P(B_{1})P(A|B_{1})}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times 5\%}{21/800}=\dfrac{20}{21}$

例#

某人打靶的命中率为 $0.8$，现独立射击 5 次，问 5 次中命中 2 次的概率。

【解】 5 次独立重复射击，$p=0.8$，则：

$P\{\text{5 次试验中命中 2 次}\}=P_{5}(2)=C_{5}^{2}\cdot p^{2}\cdot(1-p)^{3}=C_{5}^{2}\cdot 0.8^{2}\cdot 0.2^{3}$