1. 认识简谐运动#

弹簧振子在水平方向上做往复运动，速度在两端最大位移处为零（$v=0$），在平衡位置处最大。可用旋转矢量法直观表示。

简谐运动的基本公式：

[!tip] 旋转矢量法 用一个长度为 $A$ 的旋转矢量以角速度 $\omega$ 逆时针旋转，矢量在 $x$ 轴上的投影即对应位移 $x$。矢量与 $x$ 轴的夹角即为相位 $\omega t + \varphi_0$，$t=0$ 时的夹角为初相 $\varphi_0$。

[!tip] 弹簧串并联 弹簧串联：$\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}$ 弹簧并联：$k = k_1 + k_2$

题1. 一质点按如下规律沿 $x$ 轴作简谐运动：$x = 0.1\cos\left(8\pi t + \dfrac{2\pi}{3}\right)$ (SI)，求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。

解：

• 振幅 $A = 0.1\,\text{m}$
• 角频率 $\omega = 8\pi$，$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{8\pi} = 0.25\,\text{s}$
• 初相 $\varphi_0 = \dfrac{2\pi}{3}$
• 速度最大值 $v_{\max} = A\omega = 0.1 \times 8\pi = 2.5\,\text{m/s}$
• 加速度最大值 $a_{\max} = A\omega^2 = 0.1 \times (8\pi)^2 = 63.1\,\text{m/s}^2$

题2. 质点做简谐运动，振动方程 $x = A\cos(\omega t + \varphi)$，当 $t = T/2$（$T$ 为周期）时，质点的速度为（ ）

$A.\ -A\omega\sin\varphi \quad B.\ A\omega\sin\varphi \quad C.\ -A\omega\cos\varphi \quad D.\ A\omega\cos\varphi \quad E.\ 0$

答：B

解：

$v = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)\Big|_{t=T/2}$

$= -A\omega\sin\left(\omega\cdot\frac{T}{2} + \varphi\right) = -A\omega\sin\left(\omega\cdot\frac{2\pi/\omega}{2} + \varphi\right)$

$= -A\omega\sin(\pi + \varphi) = A\omega\sin\varphi$

题3. 将倔强系数为 $k$ 的轻质弹簧截去一半，然后一端固定，另一端下挂质量为 $m$ 的小球，组成振动系统。那么该系统的频率是（ ）

$A.\ \dfrac{1}{4\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}} \quad B.\ \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}} \quad C.\ \dfrac{1}{2\sqrt{2}\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}} \quad D.\ \dfrac{\sqrt{2}}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

答：D

解： 两段半弹簧并联：$\dfrac{1}{k'} + \dfrac{1}{k'} = \dfrac{1}{k} \Rightarrow k' = 2k$

$\omega = \sqrt{\frac{k'}{m}} = \sqrt{\frac{2k}{m}}, \quad \nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

2. 振动学方程 $x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$#

题1. 已知一物体作简谐运动，周期为 $1\,\text{s}$，振动曲线如图所示，求简谐运动的余弦表达式。

解：

• 振幅 $A = 0.04\,\text{m}$
• 周期 $T = 1\,\text{s}$，$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\,\text{rad/s}$
• 由旋转矢量法得 $\varphi_0 = -\dfrac{\pi}{3}$

$x = 0.04\cos\left(2\pi t - \frac{\pi}{3}\right)$

题2. 一质点作简谐运动，振幅为 $A$，在起始位置时刻质点的位移为 $\dfrac{A}{2}$，且向 $x$ 轴的正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量图为：

答：B（位移 $x = \dfrac{A}{2}$，且向 $+x$ 方向运动 ⟹ 矢量在第一象限，逆时针旋转）

题3. 质点沿 $x$ 轴作简谐运动，用余弦函数表示，振幅为 $A$，当 $t=0$ 时，质点处于 $x_0 = -\dfrac{A}{2}$ 处且向 $x$ 轴负方向运动，则其初相为：

$A.\ \dfrac{\pi}{6} \quad B.\ \dfrac{2\pi}{3} \quad C.\ \dfrac{4\pi}{3} \quad D.\ \dfrac{\pi}{3}$

答：B

解： 由旋转矢量法，$\varphi_0 = \dfrac{2\pi}{3}$（位于第二象限，对应 $x = -\dfrac{A}{2}$ 且向 $-x$ 方向旋转分量最大处）。

题4. 质点振动的 $x-t$ 曲线如图所示，求：

（1）质点的振动方程；

（2）质点从 $t=0$ 的位置到达 $P$ 点相应位置所需的最短时间。

解：

（1）$A = 0.1$

由旋转矢量法知 $\varphi_0 = -\dfrac{\pi}{3}$，$x = 0.1\cos\left(\omega t - \dfrac{\pi}{3}\right)$

$0 = 0.1\cos\left(\omega t - \dfrac{\pi}{3}\right)$ 时 $\omega t - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow \omega = \dfrac{5\pi}{6}$

$x = 0.1\cos\left(\frac{5\pi}{6}t - \frac{\pi}{3}\right)$

（2）$t = 0$ 时 $\varphi_0 = -\dfrac{\pi}{3}$；$t = t_P$ 时 $\varphi_P = 0$

$\Delta t = \frac{\Delta\varphi}{\omega} = \frac{\pi/3}{5\pi/6} = 0.4\,\text{s}$

题5. 如图所示，质量为 $1.0\times10^{-2}\,\text{kg}$ 的子弹，以 $500\,\text{m/s}$ 的速度射入并嵌在木块中，同时使弹簧压缩而作简谐运动。设木块质量为 $4.99\,\text{kg}$，弹簧的劲度系数为 $k = 8.00\times10^3\,\text{N/m}$。若以弹簧原长时木块所在处为坐标原点，向右为轴正方向，求简谐运动方程。

解： 由动量守恒

$mv = (M + m)v_0 \Rightarrow v_0 = \frac{m}{M + m}v = \frac{0.01}{0.01 + 4.99}\times 500 = 1\,\text{m/s}$

$\omega = \sqrt{\frac{k}{M + m}} = \sqrt{\frac{8\times10^3}{0.01 + 4.99}} = 40\,\text{rad/s}$

$A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} = \sqrt{0^2 + \frac{1^2}{40^2}} = 2.5\times10^{-2}\,\text{m}$

由旋转矢量法知 $\varphi_0 = \dfrac{\pi}{2}$

$x = 2.5\times10^{-2}\cos\left(40t + \frac{\pi}{2}\right)$

1. 振动的能量#

简谐运动的机械能守恒：

• 机械能 = 动能 + 势能
• $E = \dfrac{1}{2}mv^2 + \dfrac{1}{2}kx^2$
• 在最大位移处（$x=\pm A$，$v=0$）：动能 $E_k = 0$，势能 $E_p = \dfrac{1}{2}kA^2$
• 总机械能：$E = \dfrac{1}{2}kA^2$（不变）

题1. 质点做简谐运动，从平衡位置运动到最大位移处时，质点的动能 ______，势能 ______，总的机械能 ______。（填增大、减小或不变）

答： 减小，增大，不变

解： 从平衡位置（$x=0$，$v$ 最大）到最大位移处（$x=\pm A$，$v=0$），动能 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ 减小，势能 $E_p = \frac{1}{2}kx^2$ 增大；总机械能 $E = \frac{1}{2}kA^2$ 守恒不变。

题2. 一弹簧振子作简谐运动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的 $\dfrac{1}{4}$ 时，其动能为振动总能量的（　）。

$A.\ \dfrac{9}{16}\quad B.\ \dfrac{11}{16}\quad C.\ \dfrac{13}{16}\quad D.\ \dfrac{15}{16}$

答：D

解：

• 势能 $E_p = \dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{A}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{32}kA^2$
• 总机械能 $E = \dfrac{1}{2}kA^2$
• 动能 $E_k = E - E_p = \dfrac{1}{2}kA^2 - \dfrac{1}{32}kA^2 = \dfrac{15}{32}kA^2$
• $\dfrac{E_k}{E} = \dfrac{\dfrac{15}{32}kA^2}{\dfrac{1}{2}kA^2} = \dfrac{15}{16}$

题3. 有一水平的弹簧振子，弹簧的劲度系数 $k = 25\,\text{N/m}$，物体质量 $m = 1.0\,\text{kg}$，物体静止在平衡位置。设以水平向左的恒力 $F = 10\,\text{N}$ 作用在物体上（不计一切摩擦），使其由平衡位置向左运动了 $0.05\,\text{m}$，此时撤除力 $F$，当物体运动到最左边时开始计时，求物体的运动方程。

解：

• 由机械能守恒 $F\cdot x = \dfrac{1}{2}kA^2$，即 $10\times0.05 = \dfrac{1}{2}\times25\times A^2 \Rightarrow A = 0.2\,\text{m}$
• 角频率 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{25}{1}} = 5\,\text{rad/s}$
• 由旋转矢量法知 $\varphi_0 = \pi$（物体从最左边 $x=-A$ 处开始计时）
• 运动方程：$x = 0.2\cos(5t + \pi)$

2. 振动的合成#

同方向同频率的两个简谐运动 $x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$、$x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$ 合成：

$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)}$

$\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}$

题1. 某质点同时参与轴上的两个简谐运动：$x_1 = 0.03\cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$，$x_2 = 0.05\cos\left(2\pi t - \dfrac{2\pi}{3}\right)$（SI），合成振动的振动方程为 ______。

解：

解法一（旋转矢量法）： 相位差 $\varphi_2 - \varphi_1 = -\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = -\pi$，两振动方向相反，故

$A = 0.05 - 0.03 = 0.02\,\text{m},\qquad \varphi_0 = -\frac{2\pi}{3}$

$\Rightarrow x = 0.02\cos\left(2\pi t - \frac{2\pi}{3}\right)$

解法二（公式法）：

$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)} = \sqrt{0.03^2 + 0.05^2 + 2\times0.03\times0.05\cos(-\pi)} = 0.02$

$\tan\varphi = \frac{0.03\sin\frac{\pi}{3} + 0.05\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)}{0.03\cos\frac{\pi}{3} + 0.05\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)} = \sqrt{3}$

由旋转矢量法可知 $\varphi = -\dfrac{2\pi}{3}$，故 $x = 0.02\cos\left(2\pi t - \dfrac{2\pi}{3}\right)$。

1. 认识机械波#

机械波的形成： 波源振动带动相邻质点依次振动，振动形式在介质中由近及远传播。介质中各质点只在自己的平衡位置附近振动，不随波迁移，传播的是振动形式和能量。

波速、波长、周期的关系：

$u = \frac{\lambda}{T} = \lambda \nu$

• 波速 $u$：波形传播的速度，由介质决定
• 波长 $\lambda$：一个完整波形沿传播方向占据的长度，等于波线上相位差为 $2\pi$ 的两点间距离
• 周期 $T$：波传播一个波长所需的时间，等于波源的振动周期（由波源决定）

两点间相位差：

$\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\lambda}{\Delta x} = \frac{2\pi}{\Delta\varphi}$

[!tip] 记忆口诀 “见者有份”：波长对应 $2\pi$ 相位，两点距离 $\Delta x$ 占波长多少份，相位差就占 $2\pi$ 多少份。

波动方程（沿 +x 方向传播）#

原点 $O$ 的振动方程：$y = A\cos(\omega t + \varphi_0)$

若波沿 $+x$ 方向传播，$x$ 处质点的振动比 $O$ 点落后 $\Delta t = \dfrac{x}{u}$，故

$y = A\cos\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi_0\right] = A\cos\left[2\pi\left(\nu t - \frac{x}{\lambda}\right) + \varphi_0\right] = A\cos\left[\omega t + \varphi_0 - \frac{2\pi}{\lambda}x\right]$

若波沿 $-x$ 方向传播，$x$ 处质点的振动比 $O$ 点超前，则

$y = A\cos\left[\omega\left(t + \frac{x}{u}\right) + \varphi_0\right] = A\cos\left[2\pi\left(\nu t + \frac{x}{\lambda}\right) + \varphi_0\right] = A\cos\left[\omega t + \varphi_0 + \frac{2\pi}{\lambda}x\right]$

[!warning] 易错点 判断传播方向时，“上坡下、下坡上”：在波形图上升段（沿波传播方向）质点向下振动，下降段质点向上振动。

2. 波动方程#

[!note] 解题三步法 ① 求原点振动方程 $y = A\cos(\omega t + \varphi_0)$（旋转矢量法定 $\varphi_0$） ② 求波速 $u = \dfrac{\lambda}{T} = \lambda\nu$ ③ 代入波动方程 $y = A\cos\left[\omega\left(t \mp \dfrac{x}{u}\right) + \varphi_0\right]$

例题#

题1. 已知一沿 $x$ 轴正向传播的平面简谐波，时间 $t = 0$ 时的波形如图所示，且 $T = 2\,\text{s}$，求：

（1）$O$ 点的振动方程；

（2）该波的波动方程；

（3）$x = 60\,\text{m}$ 处质点的振动方程和速度表达式。

解：

（1）振幅 $A = 0.1\,\text{m}$，$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\ \text{rad/s}$

由旋转矢量法得 $\varphi_0 = -\dfrac{2\pi}{3}$（$t=0$ 时原点位移为负、且向 $-y$ 方向运动），故

$y = 0.1\cos\left(\pi t - \frac{2\pi}{3}\right)$

（2）$\lambda = 40\,\text{m}$，$u = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{40}{2} = 20\,\text{m/s}$，波沿 $+x$ 传播：

$y = 0.1\cos\left[\pi\left(t - \frac{x}{20}\right) - \frac{2\pi}{3}\right]$

（3）将 $x = 60\,\text{m}$ 代入：

$y = 0.1\cos\left[\pi\left(t - \frac{60}{20}\right) - \frac{2\pi}{3}\right] = 0.1\cos\left(\pi t - \frac{11\pi}{3}\right)$

速度表达式：

$v = \frac{dy}{dt} = -0.1\pi\sin\left(\pi t - \frac{11\pi}{3}\right)$

---

题2. 一平面简谐波在介质中以波速 $u = 2\,\text{m/s}$ 沿 $x$ 轴负方向传播，原点 $O$ 处质点的振动曲线如图所示，求：

（1）原点 $O$ 的质点的振动方程；

（2）该波的波动方程；

（3）$x = 20\,\text{m}$ 处质点的振动方程。

解：

（1）振幅 $A = 4\times10^{-2}\,\text{m}$，周期 $T = 8\,\text{s}$，$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4}\ \text{rad/s}$

由旋转矢量法得 $\varphi_0 = -\dfrac{\pi}{2}$，故

$y = 4\times10^{-2}\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{2}\right)$

（2）波沿 $-x$ 方向传播，$u = 2\,\text{m/s}$：

$y = 4\times10^{-2}\cos\left[\frac{\pi}{4}\left(t + \frac{x}{2}\right) - \frac{\pi}{2}\right]$

（3）$x = 20\,\text{m}$ 处：

$y = 4\times10^{-2}\cos\left[\frac{\pi}{4}\left(t + \frac{20}{2}\right) - \frac{\pi}{2}\right] = 4\times10^{-2}\cos\left(\frac{\pi}{4}t + 2\pi\right) = 4\times10^{-2}\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)$

---

题3. 一平面简谐波沿 $Ox$ 轴的负方向传播，波长为 $\lambda$，$P$ 处质点的振动规律如图所示，已知 $P$ 点与 $O$ 点的距离为 $d$。

（1）求 $P$ 处质点的振动方程；

（2）求此波的波动表达式。

解：

（1）由振动图：振幅 $A$，$\varphi_0 = \pi$，$t = 1\,\text{s}$ 时 $y = 0$，即

$0 = A\cos(\omega + \pi) \Rightarrow \omega + \pi = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \omega = \frac{\pi}{2}$

$y_P = A\cos\left(\frac{\pi}{2}t + \pi\right)$

（2）$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{\pi/2} = 4\,\text{s}$，$u = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{\lambda}{4}$

以 $P$ 为原点（波沿 $-x$ 传播，$O$ 在 $P$ 的左侧 $d$ 处）：

$y = A\cos\left[\frac{\pi}{2}\left(t + \frac{x}{\lambda/4}\right) + \pi\right] = A\cos\left[\frac{\pi}{2}\left(t + \frac{4x}{\lambda}\right) + \pi\right]$

以 $O$ 为原点（$O$ 点比 $P$ 点振动超前 $\dfrac{d}{u}$）：

$y = A\cos\left[\frac{\pi}{2}\left(t + \frac{4(x-d)}{\lambda}\right) + \pi\right]$

[!tip] 波沿 $-x$ 传播的波动方程 以振动规律已知的点 $P$ 为原点，$x$ 取正方向为 $-x$ 方向；以 $O$ 为原点时，$O$ 点比 $P$ 点超前 $d/u$，故相位项为 $+\dfrac{2\pi d}{\lambda}$（对应 $t + \dfrac{x+d'}{u}$ 形式）。