线性代数笔记#

目录#

第一部分：行列式#

1.1 行列式的性质#

按行/列展开不变性：n阶矩阵 $A$ 的行列式按任意一行（列）展开，其值相等。

两行（列）全相同则行列式为0：若n阶行列式有两行（列）对应元素全相等，则行列式值为0。

行（列）的可拆分性：某一行（列）的元素为两数之和时，行列式可拆分为两个行列式之和：
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ b_i + c_i & b_{i2} + c_{i2} & \dots & b_{in} + c_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ b_i & b_{i2} & \dots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ c_i & c_{i2} & \dots & c_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$

初等变换对行列式的影响：
- 某一行（列）乘以数 $k$ ，行列式值变为原来的 $k$ 倍： $\det A_1 = k\det A$ （ $A_1$ 为 $A$ 的某行乘 $k$ 得到的矩阵）
- 某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列），行列式值不变： $\det A_2 = \det A$ （ $A_2$ 为 $A$ 经过该变换后的矩阵）
- 交换两行（列），行列式值变号： $\det A_3 = -\det A$ （ $A_3$ 为 $A$ 交换两行后的矩阵）

转置不变性：行列式与其转置行列式值相等，即 $\det A^T = \det A$ 。

行列式的推论#

若行列式的某一行（列）元素全为0，则行列式值为0。
若行列式的某两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0。

1.2 行列式的计算#

范德蒙德行列式： $V_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) = (x_2-x_1)(x_3-x_1)\dots(x_n-x_1)(x_3-x_2)\dots(x_n-x_2)\dots(x_n-x_{n-1})$

拉普拉斯定理推论（分块行列式）： $\begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = |A||B|, \quad \begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = |A||B|, \quad \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = |A||B|$ $\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B| \quad (m,n为A,B的阶数)$ （其中 $A,B$ 为方阵， $O$ 为零矩阵， $C$ 为任意矩阵）

1.3 克莱姆法则#

引理：行列式的任一行元素乘另一行对应元素的代数余子式之和为 0。

克拉默法则：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，则线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解 $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$ ，其中 $x_j = \frac{\det A_j}{\det A} \quad (j=1,2,\dots,n)$ （ $\det A_j$ 是用 $b$ 替换 $\det A$ 的第 $j$ 列得到的行列式）

齐次线性方程组判定：对于 $Ax=0$ $A x = 0$ ：
- 若 $\det A \neq 0$ ，方程组只有零解；
- 若 $\det A = 0$ ，方程组有非零解。

第二部分：矩阵#

2.1 矩阵的概念#

矩阵与行列式对比#

	行列式	矩阵
本质	数	数表
形状	必须是方的（行数=列数）	行数和列数不一定相等

矩阵的定义#

矩阵： $m \times n$ 的数表
同型矩阵：矩阵 $A$ 、 $B$ 的行数和列数都相等
矩阵相等： $A=B \iff$ 是同型矩阵，且对应位置元素相等

几类特殊矩阵#

方阵：行数=列数的矩阵
行矩阵：只有一行的矩阵，如 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$
列矩阵：只有一列的矩阵，如 $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
零矩阵：元素全为 0 的矩阵，如 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 、 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
负矩阵：如 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$ ，其负矩阵 $-A = \begin{pmatrix} -1 & -3 & 0 \\ -2 & 4 & -5 \end{pmatrix}$
上三角形矩阵：主对角线下方的元素全为 0 的矩阵，如 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ 、 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$
下三角形矩阵：主对角线上方的元素全为 0 的矩阵，如 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ 、 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$
对角形矩阵：非主对角线元素全为 0 的矩阵，如 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ 、 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ ，也可记为 $\text{diag}(1,2,3)$
数量矩阵：主对角线上元素相同的对角矩阵，如 $\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$
单位矩阵：主对角线上元素全为 1 的对角矩阵记作 $I$ 或 $E$ ：

I = E = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix}

2.2 矩阵的加法、减法与数乘#

矩阵的加、减运算#

定义：同型矩阵对应位置元素相加/相减。
运算规律：
1. $A+B = B+A$ （交换律）
2. $(A+B)+C = A+(B+C)$ （结合律）
3. $A+O = A$ （ $O$ 为零矩阵）
4. $A+(-A) = O$
5. $A-B = A+(-B)$
6. $A+B = C \iff A = C-B$

矩阵的数乘运算#

定义：用数 $k$ 乘以矩阵 $A$ 的每一个元素，例： $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad kA = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}$

公因子提取对比#

矩阵：所有元素均有公因子 $k$ ， $k$ 向外提一次。
行列式：某一行（列）有公因子 $k$ ， $k$ 向外提一次。
行列式：所有元素均有公因子 $k$ ， $k$ 向外提 $n$ 次（ $n$ 为阶数）。

数乘的运算规律#

$k(A+B) = kA + kB$
$(k+l)A = kA + lA$
$k(lA) = (kl)A = l(kA)$
$1A = A$
$(-1)A = -A$

2.3 矩阵的乘法#

定义#

可乘条件： $A_{m \times n}$ 与 $B_{p \times q}$ 相乘，需要 $n = p$
结果形状： $AB$ 是 $m \times q$ 矩阵。

矩阵乘法不满足的规律#

不满足交换律：
- AB，BA都有意义，二者不一定相等
- AB有意义，BA不一定有意义
不满足消去律：
- 若AB=AC，且A≠O，推不出B=C
- 若BA=CA，且A≠O，推不出B=C
两个非零矩阵的成绩可能是零矩阵
- 若AB=O，推不出A=O，B=O

矩阵乘法满足的运算规律#

结合律： $(AB)C = A(BC)$
分配律：
- 左分配律： $(A+B)C = AC + BC$
- 右分配律： $C(A+B) = CA + CB$
数乘结合律： $k(AB) = (kA)B = A(kB)$
单位矩阵性质： $AE = EA = A$
数量矩阵性质：若 $A = aE$ （数量矩阵），则 $AB = aB$

矩阵的可交换性#

若 $AB = BA$ ，则称 $A$ 与 $B$ 可交换。常见可交换情况：

可交换的矩阵一定是同阶方阵
不同阶矩阵一定不可交换
AB≠BA，一定不可交换
单位矩阵E和任一同阶方阵可交换
两个同阶对角矩阵可交换

2.4 方阵的幂#

定义：设 $A$ 为方阵，定义 $A^k = \underbrace{A \cdot A \cdot \dots \cdot A}_{k\text{个}}$ ，规定 $A^0 = E$ 。
性质（ $A$ $A$ 为方阵， $k,k_1,k_2$ $k, k_{1}, k_{2}$ 为非负整数， $k,l$ $k, l$ 为常数）：
1. $A^{k_1}A^{k_2} = A^{k_1+k_2}$
2. $(A^{k_1})^{k_2} = A^{k_1k_2}$
3. $(lA)^k = l^kA^k$

注：由于矩阵乘法不满足交换律，一般情况下， $(AB)^k \neq A^kB^k$ （ $A,B$ 为同阶方阵）

若矩阵 $A,B$ 可交换，则有： $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) = (A-B)(A+B)$ $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$ $(AB)^k = A^kB^k$

恒成立公式#

$A^2 - E = (A+E)(A-E)$ $(A+E)^2 = A^2 + 2A + E$ $(A-E)^2 = A^2 - 2A + E$ $A^3 - E = (A-E)(A^2 + A + E)$ $A^3 + E = (A+E)(A^2 - A + E)$

方阵多项式#

设 $f(x) = a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + \dots + a_1x + a_0$ ，则 $f(A) = a_mA^m + a_{m-1}A^{m-1} + \dots + a_1A + a_0E$

2.5 矩阵的转置#

定义#

将矩阵的行依次变为列，列依次变为行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵，记作 $A^T$ 。例：若 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}$ ，则

A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

转置矩阵的性质#

$(A^T)^T = A$
$(A+B)^T = A^T + B^T$
$(kA)^T = kA^T$ （ $k$ 为常数）
$(AB)^T = B^T A^T$ （反序法则）
$(A^k)^T = (A^T)^k$ （ $k$ 为正整数）

对称矩阵与反对称矩阵#

对称矩阵#

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^T = A$ ，则称 $A$ 为对称矩阵。等价条件： $A = (a_{ij})_{n×n}$ 为对称矩阵 $\iff a_{ij} = a_{ji}$ （ $i,j=1,2,\dots,n$ ）。例： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

对称矩阵的结论：

若 $A,B$ $A, B$ 为同阶对称矩阵，则 $A+B$ $A + B$ 、 $A-B$ $A - B$ 仍为对称矩阵
- $(A+B)^T=A^T+B^T=A+B$
- $(A-B)^T=A^T-B^T=A-B$

若 $A$ 为对称矩阵，则 $kA$ 、 $A^m$ 仍为对称矩阵（ $k$ 为常数， $m$ 为正整数）

若 $A,B$ $A, B$ 为同阶对称矩阵，则 $AB$ $A B$ 为对称矩阵的充要条件是 $AB=BA$ $A B = B A$
- 证： $(AB)^T=B^TA^T=BA=AB$

对任意 $m×n$ 矩阵 $A$ ，则 $A^TA$ 、 $AA^T$ 均为对称矩阵

反对称矩阵#

设 $A=(a_{ij})_{n×n}$ ， $A$ 为反对称矩阵 $\Leftrightarrow A^T=-A \Leftrightarrow a_{ij}=-a_{ji}$ （ $i,j=1,2,3\cdots n$ ）注： $A$ 为反对称矩阵，主对角线元素全为0；关于主对角线对称位置的元素互为相反数

反对称矩阵的结论：

若 $A,B$ 为同阶反对称矩阵，则 $A+B$ 、 $A-B$ 仍为反对称矩阵
若 $A$ 为反对称矩阵，则 $kA$ 仍为反对称矩阵
若 $A$ 为反对称矩阵， $k$ 为正整数，则 $A^k$ 为对称矩阵（ $k$ 为偶数）、反对称矩阵（ $k$ 为奇数）； $(A^k)^T=(A^T)^k=(-A)^k=(-1)^kA^k$

2.6 方阵的行列式#

设 $n$ 阶方阵 $A$ ，则 $A$ 的行列式为 $|A|$ 注：1. $A$ 的行列式 $|A|$ 是一个数；2. 只有方阵才有行列式

方阵行列式的性质：#

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵， $k$ 为常数， $m$ 为正整数：

$|A^T|=|A|$
$|kA|=k^n|A|$
$|AB|=|A|\cdot|B|$
$|A^m|=|A|^m$ ，如 $|A^3|=|AAA|=|A||A||A|=|A|^3$
$|E|=1$ （ $E$ 为单位矩阵）

2.7 方阵的伴随矩阵#

伴随矩阵的定义#

设 $A=(a_{ij})_{n×n}$ ， $|A|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式为 $A_{ij}$ （ $i,j=1,2,\dots,n$ ）， $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 定义为：

A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix}

注意：

$A^*$ 的元素是 $a_{ij}$ 的代数余子式，是把行的代数余子式放到列上；
任一方阵都有伴随矩阵；
只有方阵才有伴随矩阵。

伴随矩阵的性质#

对任意方阵 $A$ ，有 $AA^* = A^*A = |A|E$ （不管 $A$ 可逆与否，均成立）例： $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}$ $AA^* = \begin{pmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{pmatrix} = |A| \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix} = |A|E$

若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $|A^*| = |A|^{n-1}$ 证：由 $AA^* = |A|E$ ，两边取行列式得： $|A||A^*| = | |A|E | = |A|^n |E| = |A|^n$ 两边除以 $|A|$ （ $|A|≠0$ 时），得 $|A^*| = |A|^{n-1}$ 。

若 $A$ 为方阵，则 $(A^T)^* = (A^*)^T$

若 $A$ 为 $n$ 阶方阵， $k$ 为常数，则 $(kA)^* = k^{n-1}A^*$ 证：以3阶矩阵为例： $kA = \begin{pmatrix} ka & kb & kc \\ kd & ke & kf \\ kh & ki & kg \end{pmatrix}, \quad (kA)_{ij} = (-1)^{i+j} \begin{vmatrix} ke & kf \\ ki & kg \end{vmatrix} = k^2 A_{ij}$ 推广得 $(kA)^* = k^{n-1}A^*$ 。

若 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ ，则 $A^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ ，主对换，负号易号。

2.8 逆矩阵#

逆矩阵的定义#

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$ ，使 $AB=BA=E$ ，则称 $A$ 是可逆矩阵， $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$ 。注：任何方阵未必都有逆矩阵；若方阵 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 是唯一的（证明：若 $B_1,B_2$ 满足 $B_1A=E,AB_2=E$ ，则 $B_1=B_1E=B_1(AB_2)=(B_1A)B_2=EB_2=B_2$ ）。
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若 $|A|≠0$ ，称 $A$ 是非奇异矩阵，可逆；若 $|A|=0$ ，称 $A$ 是奇异矩阵，不可逆。

矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法#

定理1：方阵 $A$ 可逆的充要条件是 $A$ 为非奇异矩阵，即 $|A|≠0$ ，并且当 $A$ 可逆时， $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$ 。

定理2（对角形矩阵）： $\text{diag}A=\text{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n)$ 可逆的充要条件是 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 都不等于0，且 $A^{-1}=\text{diag}(\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\dots,\frac{1}{a_n})$ 。

定理3：设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$ ，使 $AB=E$ 或 $BA=E$ ，则 $A$ 可逆，且 $A^{-1}=B$ 。

可逆矩阵的性质#

若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 也可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$ 。

若 $A$ 可逆，则 $A^T$ 也可逆，且 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ （证明： $A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E^T=E$ ）。

若 $A$ 可逆， $k$ 为非零常数，则 $kA$ 也可逆，且 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ 。

若 $A$ 可逆，则 $A^*$ 也可逆，且 $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A$ 。证： $AA^*=A^*A=|A|E$ ，则 $(\frac{1}{|A|}A)A^*=A^*(\frac{1}{|A|}A)=E$ ，故 $A^*$ 可逆。附： $|kA|=k^n|A|$ ， $(kA)^*=k^{n-1}A^*$ ， $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ 。运算顺序可交换： $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ ， $(A^*)^T=(A^T)^*$ ， $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$ 。

若 $A,B$ 同阶可逆，则 $AB$ 也可逆， $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 。证： $|A|≠0,|B|≠0$ ，则 $|AB|=|A||B|≠0$ ， $AB$ 可逆； $ABB^{-1}A^{-1}=AEA^{-1}=AA^{-1}=E$ 。

若 $A$ 可逆， $m$ 为正整数，则 $A^m$ 也可逆，且 $(A^m)^{-1} = (A^{-1})^m$ 。 $|A| \neq 0$ ， $|A^m| = |A|^m \neq 0$ ， $A^m(A^{-1})^m = (A^{-1}A)^m = E^m = E$ 。

若 $A$ 可逆，则 $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ 。

若 $A$ 可逆，则 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$ 。

矩阵方程#

若 $A,B$ 均为可逆矩阵，则矩阵方程：

$AX = C$ ，其解为 $X = A^{-1}C$ 。证： $A^{-1}AX = A^{-1}C \Rightarrow X = A^{-1}C$

$XA = C$ ，其解为 $X = CA^{-1}$ 。证： $XAA^{-1} = CA^{-1} \Rightarrow X = CA^{-1}$

$AXB = C$ ，其解为 $X = A^{-1}CB^{-1}$ 。证： $A^{-1}AXB B^{-1} = A^{-1}CB^{-1} \Rightarrow X = A^{-1}CB^{-1}$

2.9 矩阵的初等变换#

定义#

矩阵初等变换分为：行变换和列变换。

初等行变换：

交换矩阵的两行；
用数 $k \neq 0$ 乘矩阵某一行的所有元素；
把矩阵某一行所有元素的 $l$ 倍加到另一行对应的元素上去。

标准形矩阵：元素只有 $1$ 和 $0$ 组成，且矩阵左上角是单位矩阵，其余元素全为 $0$ 。例：

\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

定理：任何矩阵都能通过初等变换化为标准型矩阵，此矩阵称为矩阵的标准形。

行阶梯形矩阵#

定义：若矩阵满足以下条件，则称为行阶梯形矩阵：
- 若矩阵存在零行，则零行都在非零行的下方；
- 任一非零行从左到右第一个非零元素（非零首元）所在的列中，该元素左下方的元素全为零。

行简化阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵的非零首元均为 $1$ ，且非零首元所在列的其他元素全为零。

例子： $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

定理：任何矩阵都可通过初等行变换化为唯一的行阶梯形矩阵；再通过初等行变换化为唯一的行简化阶梯形矩阵；最终可通过初等列变换化为唯一的标准形矩阵，其中“ $1$ ”的个数等于矩阵的秩 $r(A)$ 。

2.10 初等矩阵#

定义#

由单位矩阵 $E$ 经过一次初等行（列）变换得到的矩阵，称为初等矩阵，分为三类：

交换 $E$ 的第 $i,j$ 两行（列），得到 $E(i,j)$ ；
用非零数 $k$ 乘 $E$ 的第 $i$ 行（列），得到 $E(i(k))$ ；
把 $E$ 的第 $j$ 行的 $l$ 倍加到第 $i$ 行，得到 $E(i,j(l))$ 。

性质#

行列式非零： $|E(i,j)| = -1$ ， $|E(i(k))| = k$ ， $|E(i,j(l))| = 1$
转置仍为同类型初等矩阵： $E(i,j)^T = E(i,j)$ ， $E(i(k))^T = E(i(k))$ ， $E(i,j(l))^T = E(j,i(l))$
可逆，且逆矩阵仍为同类型初等矩阵： $E(i,j)^{-1} = E(i,j)$ ， $E(i(k))^{-1} = E(i(1/k))$ ， $E(i,j(l))^{-1} = E(i,j(-l))$

初等矩阵与矩阵初等变换的关系#

设 $A$ 为 $m×n$ 矩阵，则：

对 $A$ 进行一次初等行变换得到的矩阵，等于用同类型的 $m$ 阶初等矩阵左乘 $A$ ；
对 $A$ 进行一次初等列变换得到的矩阵，等于用同类型的 $n$ 阶初等矩阵右乘 $A$ 。（左乘对应行变换，右乘对应列变换）

2.11 矩阵的等价#

定义#

若矩阵 $A$ 可经过有限次初等变换化为矩阵 $B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A \cong B$ 。 $A \cong B \iff A \to B$ 。

矩阵等价的性质#

矩阵的等价具有下列性质：

反身性：对任何矩阵 $A$ ，都有 $A \cong A$ ；
对等称性：若矩阵 $A \cong B$ ，则 $B \cong A$ ；
传递性：若矩阵 $A \cong B$ ， $B \cong C$ ，则 $A \cong C$ 。

矩阵等价的有关结论#

任意一个矩阵 $A_{m×n}$ 都和其标准形矩阵

D=\begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 1 & & \\ & & & 0 & \\ & & & & \ddots \\ & & & & & 0 \end{pmatrix}_{m×n}

等价。#

矩阵 $A \cong B$ 的充要条件是存在一系列初等矩阵 $P_1, P_2, \dots, P_s, Q_1, Q_2, \dots, Q_t$ ，使

P_s \cdots P_2 P_1 A Q_1 Q_2 \cdots Q_t = B

矩阵 $A \cong B$ 的充要条件是存在可逆矩阵 $P,Q$ ，使 $PAQ=B$ 。

若矩阵 $A \cong B$ ，则 $A$ 与 $B$ 的标准形相同。

若矩阵 $A \cong B$ ，则 $A$ 与 $B$ 的秩相等，即 $r(A)=r(B)$ 。

若 $A,B$ 为同型矩阵，则 $A \cong B$ 的充要条件是 $r(A)=r(B)$ 。

若 $A, B$ 为同阶方阵，且 $A \cong B$ ，则 $|A| = k|B|$ （ $k \neq 0$ 。

若 $A, B$ 为同阶方阵，且 $A \cong B$ ，则 $A, B$ 同时可逆，或同时不可逆。

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A$ 可逆的充要条件为 $A \cong E$ 。

设 $A$ 为方阵，则 $A$ 可逆的充要条件是 $A$ 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。

2.12 初等变换法求逆矩阵#

具体步骤#

第一步：利用矩阵 $A$ 和同阶单位矩阵 $E$ ，作 $n \times 2n$ 的矩阵 $(A \vdots E)$ ；

第二步：对 $(A \vdots E)$ 进行初等行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵： $(A \vdots E) \xrightarrow{\text{行}} (B \vdots D)$ （注：只能进行行变换）其中， $(B \vdots D)$ 为行简化阶梯形矩阵，此时相应的有 $A \xrightarrow{\text{行}} B$ ， $E \xrightarrow{\text{行}} D$ ；

第三步：判定得结论： $\begin{cases} \text{若 } B=E, \text{ 则 } A \text{ 可逆，且 } A^{-1}=D; \\ \text{若 } B \neq E, \text{ 则 } A \text{ 不可逆.} \end{cases}$

示例#

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

构造增广矩阵：

(A \mid E) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

进行初等行变换：

$r_2 - 2r_1$ ， $r_3 - 3r_1$ ：

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -6 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$r_3 - r_2$ ：

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

$r_3 \times (-1)$ ：

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

$r_2 + 5r_3$ ， $r_1 - 3r_3$ ：

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 0 & 3 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

$r_2 \times (-\frac{1}{2})$ ：

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

$r_1 - 2r_2$ ：

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

因此， $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ 。

初等变换法解矩阵方程#

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，求解矩阵方程 $AX=B$ ，有下列两种方法：

方法一：先求出 $A^{-1}$ ，然后求 $X=A^{-1}B$ 即可。

方法二（初等变换法）：只适用于方程 $AX=B$ 。对矩阵 $(A \vdots B)$ 进行初等行变换，将其化为如下形式： $(A \vdots B) \xrightarrow{\text{行}} (E \vdots C)$ （注：只能进行行变换）则 $X=C$ 。即将 $A$ 对应的左边子块化为单位矩阵 $E$ 时， $B$ 对应的右边子块化出的矩阵 $C$ 即为所求的矩阵 $X$ 。

对于 $AX=B$ ，需要构建2n * n的矩阵,把 $A$ 和 $B$ 放在矩阵的上边和下边,然后对矩阵进行初等列变换,直到 $A$ 变化为单位矩阵 $E$ 。

2.13 分块矩阵#

将 $A$ 进行如下分块：

A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & \bigm| & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & \bigm| & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & \bigm| & -2 & 2 \\ \hline 1 & 3 & 4 & \bigm| & 0 & 6 \end{pmatrix}

于是 $A$ 成为分块矩阵：

A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{pmatrix}

将 $A$ 按行分块，可得

A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{pmatrix}

其中

\alpha_1=(1\ 2\ 0\ -1\ 3),\quad \alpha_2=(0\ -1\ 1\ 2\ 1),

\alpha_3=(0\ 1\ 5\ -2\ 2),\quad \alpha_4=(1\ 3\ 4\ 0\ 6).

$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 也叫 $A$ 的行向量组。

将 $A$ 按列分块，可得：

A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & 4 & 0 & 6 \end{pmatrix} = (\beta_1\ \beta_2\ \beta_3\ \beta_4\ \beta_5)

其中

\beta_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ \beta_2= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},\ \beta_3= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix},\ \beta_4= \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix},\ \beta_5= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}

$\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5$ 也叫 $A$ 的列向量组。

将矩阵分块是为了简化计算，具体如何分块，要根据具体情况而定。

1.特殊的分块矩阵#

上三角形分块矩阵：形如 $\begin{pmatrix} A_1 & * & \dots & * \\ & A_2 & \dots & * \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & A_k \end{pmatrix}$ 的分块方阵，其中 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 为方阵。

下三角形分块矩阵：形如
$\begin{pmatrix} A_1 & & & \\ * & A_2 & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ * & * & \dots & A_k \end{pmatrix}$
的分块方阵，其中 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 均为方阵。

对角形分块矩阵：形如 $\begin{pmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k \end{pmatrix}$ 的分块方阵，其中 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 均为方阵。

2.分块矩阵的运算#

分块矩阵的加法与数乘设矩阵 $A_{m\times n}$ 、 $B_{m\times n}$ 按同一方式分块：

A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1t} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2t} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{s1} & A_{s2} & \dots & A_{st} \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1t} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2t} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ B_{s1} & B_{s2} & \dots & B_{st} \end{pmatrix}

则

A+B= \begin{pmatrix} A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12} & \dots & A_{1t}+B_{1t} \\ A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22} & \dots & A_{2t}+B_{2t} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{s1}+B_{s1} & A_{s2}+B_{s2} & \dots & A_{st}+B_{st} \end{pmatrix}

设矩阵 $A$ 按分块形式表示为

A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1t} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2t} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{s1} & A_{s2} & \dots & A_{st} \end{pmatrix}

则 $kA$ 的分块形式为

kA= \begin{pmatrix} kA_{11} & kA_{12} & \dots & kA_{1t} \\ kA_{21} & kA_{22} & \dots & kA_{2t} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ kA_{s1} & kA_{s2} & \dots & kA_{st} \end{pmatrix}

分块矩阵的乘法设矩阵 $A_{m\times l}$ 、 $B_{l\times n}$ ，把 $A$ 、 $B$ 分块，使 $A$ 的列分块和 $B$ 的行分块相同：

A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1t} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2t} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{s1} & A_{s2} & \dots & A_{st} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1r} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ B_{t1} & B_{t2} & \dots & B_{tr} \end{pmatrix}

设分块矩阵：

A= \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & A_3 \\ A_4 & A_5 & A_6 \end{pmatrix},\quad B= \begin{pmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \\ B_5 & B_6 \end{pmatrix}

则分块乘法结果为：

AB= \begin{pmatrix} A_1B_1+A_2B_3+A_3B_5 & A_1B_2+A_2B_4+A_3B_6 \\ A_4B_1+A_5B_3+A_6B_5 & A_4B_2+A_5B_4+A_6B_6 \end{pmatrix}

分块矩阵乘法的前提条件： 矩阵 $A$ 的列分法与矩阵 $B$ 的行分法必须完全相同，即 $A$ 的列数与 $B$ 的行数相同，且分块的方式一致，以保证子块之间可以进行矩阵乘法运算。

特别地，若 $A,B$ 是同阶对角形分块矩阵，且分块方式相同：

A = \begin{pmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} B_1 & & & \\ & B_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & B_k \end{pmatrix}

则

AB = \begin{pmatrix} A_1B_1 & & & \\ & A_2B_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_kB_k \end{pmatrix},\quad A^m = \begin{pmatrix} A_1^m & & & \\ & A_2^m & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k^m \end{pmatrix}

3.分块矩阵的转置#

设分块矩阵

A= \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix}

则其转置为

A^T= \begin{pmatrix} A_1^T & A_3^T \\ A_2^T & A_4^T \end{pmatrix}

分块矩阵转置的两步法：

整体转置：将子块视为普通元素，对分块矩阵整体进行转置（交换行和列）。
子块转置：对每个子块分别求其转置。

4.分块矩阵的逆矩阵#

设 $A, B$ 为方阵，则上三角分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \end{pmatrix}$ 可逆的充要条件是 $A, B$ 都可逆，且其逆矩阵为：

\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}

设 $A, B$ 为方阵，则下三角分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix}$ 可逆的充要条件是 $A, B$ 都可逆，且其逆矩阵为：

\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix}

设 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 为方阵，则对角分块矩阵

\begin{pmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k \end{pmatrix}

可逆的充要条件是 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 都可逆，且其逆矩阵为：

\begin{pmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & & & \\ & A_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k^{-1} \end{pmatrix}

设 $A = \begin{pmatrix} & B \\ C & \end{pmatrix}$ ，其中 $B, C$ 为方阵且均可逆，则其逆矩阵为：

A^{-1} = \begin{pmatrix} & C^{-1} \\ B^{-1} & \end{pmatrix}

设 $A,B,C$ 均为可逆方阵，则分块对角矩阵的逆矩阵满足：

\begin{pmatrix} A & & \\ & B & \\ & & C \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & & \\ & B^{-1} & \\ & & C^{-1} \end{pmatrix}

设 $A,B,C$ 均为可逆方阵，则反对角分块矩阵的逆矩阵为：

\begin{pmatrix} & & A \\ & B & \\ C & & \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} & & C^{-1} \\ & B^{-1} & \\ A^{-1} & & \end{pmatrix}

该结论是反对角分块矩阵求逆的通用形式，核心规律是：

每个子块取自身的逆；
逆矩阵中的子块位置与原矩阵呈中心对称。

5.分块矩阵的行列式#

分块三角矩阵的行列式性质#

一.若 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 均为方阵，则：

上三角分块矩阵：
$\begin{vmatrix} A_1 & * & \dots & * \\ & A_2 & \dots & * \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & A_k \end{vmatrix} = |A_1| \cdot |A_2| \cdot \dots \cdot |A_k|$
下三角分块矩阵：
$\begin{vmatrix} A_1 & & & \\ * & A_2 & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ * & * & \dots & A_k \end{vmatrix} = |A_1| \cdot |A_2| \cdot \dots \cdot |A_k|$
对角分块矩阵的行列式性质：

若 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 均为方阵，则：

\begin{vmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k \end{vmatrix} = |A_1| \cdot |A_2| \cdot \dots \cdot |A_k|

二.若 $A$ 为 $m$ 阶方阵， $B$ 为 $n$ 阶方阵，则：

\left|\begin{pmatrix} O & A \\ B & C \end{pmatrix}\right| = (-1)^{mn} |A| \cdot |B|

\left|\begin{pmatrix} C & A \\ B & O \end{pmatrix}\right| = (-1)^{mn} |A| \cdot |B|

\left|\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}\right| = (-1)^{mn} |A| \cdot |B|

2.14 矩阵的秩#

矩阵的子式：设矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ ，在 $A$ 中任取 $k$ 行 $k$ 列（ $k\le\min(m,n)$ ），位于这些行列交叉点处的 $k^2$ 个元素，按原位置不变得到的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的一个 $k$ 阶子式。
矩阵的秩：矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数，称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $r(A)$ 。

例如：

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 5 & -3 \end{pmatrix}

子式分析#

1阶子式：存在非零值，如 $|1|=1$ 、 $|2|$ 、 $|0|$ 等，说明矩阵至少存在1阶非零子式。
2阶子式：存在非零值，如 $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-1$ ，说明矩阵至少存在2阶非零子式。
3阶子式：所有3阶子式的值均为0，如 $\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}=0$ ，说明矩阵不存在3阶非零子式。

根据矩阵秩的定义，该矩阵的秩为2。

注:

零矩阵没有非零子式，规定零矩阵的秩为零。
若 $A \neq O$ ，则 $r(A) \ge 1$ 。
对任意矩阵 $A_{m \times n}$ ，有 $0 \le r(A) \le \min(m,n)$ 。

满秩矩阵与降秩矩阵#

定义 2.15：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，若 $r(A) = \min(m,n)$ ，称 $A$ 为满秩矩阵。

若 $r(A) = m$ ，称 $A$ 为行满秩矩阵；
若 $r(A) = n$ ，称 $A$ 为列满秩矩阵。

若 $r(A) < \min(m,n)$ ，称 $A$ 为降秩矩阵。

特别地，若 $A$ 为 $n$ 阶方阵：

若 $r(A) = n$ ，称 $A$ 为满秩矩阵；
若 $r(A) < n$ ，称 $A$ 为降秩矩阵。

由定义可知：若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则

$A$ 满秩 $\iff r(A)=n \iff |A| \neq 0 \iff A$ 可逆 $\iff A$ 非奇异；
$A$ 降秩 $\iff r(A)<n \iff |A| = 0 \iff A$ 不可逆 $\iff A$ 奇异。

矩阵秩的性质#

$r(A)=r(r>0) \iff$ 矩阵 $A$ 中至少有一个 $r$ 阶子式不等于零，而所有的 $r+1$ 阶子式全等于零（或根本没有 $r+1$ 阶子式）。

$r(A) \ge r \iff$ 矩阵 $A$ 中至少有一个 $r$ 阶子式不等于零。

$r(A) < r \iff$ 矩阵 $A$ 中所有 $r$ 阶子式全等于零。

$r(A)=r(A^T)$ ， $r(A)=r(-A)$ ， $r(kA)=r(A)\ (k\neq 0)$ 。

$r(A)=0\iff A=O$ ， $r(A)\ge 1\iff A\neq O$ 。

若 $A \neq O$ ，则 $A$ 的任意两行（列）元素对应成比例 $\iff r(A)=1$ 。

若 $A$ 为行阶梯形矩阵，则 $r(A)$ 等于 $A$ 中非零行的行数。

初等变换不改变矩阵的秩。即若 $A \cong B$ ，则 $r(A)=r(B)$ 。

若 $A, B$ 为同型矩阵，则 $A \cong B \iff r(A)=r(B)$ 。

若 $A$ 的标准形为 $D=\begin{pmatrix}1&&&&\\&\ddots&&&\\&&1&&\\&&&0&\\&&&&\ddots\\&&&&&0\end{pmatrix}$ ，则 $r(A)$ 等于 $D$ 中1的个数。

若 $A,B$ 同为 $m \times n$ 矩阵，则 $r(A \pm B) \le r(A) + r(B)$ 。

若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵， $B$ 为 $n\times s$ 矩阵，则

r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le \min(r(A), r(B)).

若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵， $B$ 为 $n\times s$ 矩阵，且 $AB=O$ ，则

r(A)+r(B)\le n.

r(A^T A)=r(AA^T)=r(A)=r(A^T).

若 $A$ 为可逆方阵，则

r(AB)=r(B),\quad r(CA)=r(C).

（16）若 $A$ 为 $n$ 阶方阵（ $n\ge2$ ）， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则：

r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n; \\ 1, & r(A)=n-1; \\ 0, & r(A)<n-1. \end{cases}

矩阵秩的求法#

定义法若矩阵 $A$ 中有不等于零的 $r$ 阶子式，而所有的 $r+1$ 阶子式全都等于零（或根本没有 $r+1$ 阶子式），则 $r(A)=r$ 。

初等变换法利用矩阵的初等行变换，将矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的非零行的行数即为矩阵的秩。

行列式法若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，通过计算行列式 $|A|$ 来判断秩：

若 $|A| \neq 0$ ，则 $r(A)=n$ （矩阵满秩）；
若 $|A| = 0$ ，则 $r(A)<n$ （矩阵降秩）。

第三部分：向量#

3.1 向量的概念与线性运算#

向量的概念#

零向量：所有分量全为零的向量，记为 $\boldsymbol{0}$ 。

如： $\boldsymbol{0} = (0, 0, \dots, 0) \quad \text{或} \quad \boldsymbol{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$

负向量：将每个分量都取相反数得到的向量。

向量 $\boldsymbol{\alpha}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 的负向量为 $-\boldsymbol{\alpha}=(-a_1, -a_2, \dots, -a_n)$ 。

向量 $\boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$ 的负向量为 $-\boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix} -b_1 \\ -b_2 \\ \vdots \\ -b_m \end{pmatrix}$ 。

向量的转置：按矩阵的转置来求。

向量的相等：两个同种类型的向量相等 $\Leftrightarrow$ 相同位置的分量对应相等。

如：设向量 $\boldsymbol{\alpha}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$ ， $\boldsymbol{\beta}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta} \Leftrightarrow a_1=b_1,\ a_2=b_2,\ \dots,\ a_n=b_n$

向量的线性运算#

1. 向量的加法与减法

定义 3.2：设两个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$ ， $\boldsymbol{\beta}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$ ，

向量加法定义为： $\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = (a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ \dots,\ a_n+b_n)$ （对应分量相加）
借助负向量和加法，定义向量的减法： $\boldsymbol{\alpha} - \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\beta}) = (a_1-b_1,\ a_2-b_2,\ \dots,\ a_n-b_n)$

2. 向量的数乘（定义3.3）

设向量 $\boldsymbol{\alpha}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$ ， $k$ 是一个常数。数 $k$ 与向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的乘法（简称数乘）定义为： $k\boldsymbol{\alpha}=(ka_1,\ ka_2,\ \dots,\ ka_n)$ （每个分量都乘 $k$ ）

示例： $5\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 15 \end{pmatrix}$ （该运算可用于提公因子）

3. 向量的运算律

交换律： $\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}$

结合律： $(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma})$

零向量性质： $\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}$ （其中 $\boldsymbol{0}$ 为同型的 $n$ 维零向量）

负向量性质： $\boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\alpha}) = (-\boldsymbol{\alpha}) + \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$ （其中 $\boldsymbol{0}$ 为同型的 $n$ 维零向量）

$1 \cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}$

$(kl)\boldsymbol{\alpha} = k(l\boldsymbol{\alpha}) = l(k\boldsymbol{\alpha})$

$k(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = k\boldsymbol{\alpha} + k\boldsymbol{\beta}$

$(k+l)\boldsymbol{\alpha} = k\boldsymbol{\alpha} + l\boldsymbol{\alpha}$

并且还可以推出：

(i) $\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\gamma} \iff \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\gamma} - \boldsymbol{\beta} \iff \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\gamma} - \boldsymbol{\alpha}$

(ii) $k\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0} \iff k=0$ 或 $\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$ （ $k$ 为实数， $\boldsymbol{\alpha}$ 为向量）。

3.2 向量的线性组合与线性表示#

定义 3.4

设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 是一组 $n$ 维向量， $k_1, k_2, \dots, k_m$ 是一组常数，则称 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m$ 为向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 的一个线性组合，其中 $k_1, k_2, \dots, k_m$ 称为组合系数。

定义 3.5

设 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 是 $n$ 维向量，若存在常数 $k_1, k_2, \dots, k_m$ ，使关系式 $\boldsymbol{\beta} = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m$ 成立，则称 $\boldsymbol{\beta}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 的线性组合，也称 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示。称 $k_1, k_2, \dots, k_m$ 为组合系数。

β 可由 α₁, …, αₛ 表示	Ax=β 方程组
可以表示	有解
不可以表示	无解
可以唯一地表示	唯一解
可以表示，不唯一	无穷多解

有关向量的线性组合与线性表示的结论：

零向量是任意向量组的线性组合。
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 中任一向量 $\alpha_i$ （ $1 \le i \le n$ ）均可由本向量组线性表示。
任一 $n$ 维向量 $\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ 都可由 $n$ 维基本单位向量组 $\varepsilon_1=(1,0,0,\dots,0)$ ， $\varepsilon_2=(0,1,0,\dots,0)$ ，…， $\varepsilon_n=(0,0,0,\dots,1)$ 线性表示，且表示法唯一。

即有 $\alpha = a_1\varepsilon_1 + a_2\varepsilon_2 + \dots + a_n\varepsilon_n$

组合系数即为 $\alpha$ 的分量。

3.3 向量组的线性相关性#

定义 3.7

给定向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ ，如果存在不全为零的数 $k_1,k_2,\dots,k_n$ ，使 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_n\alpha_n = 0 \tag{*}$ 则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 线性相关，而称 $k_1,k_2,\dots,k_n$ 为一组相关系数。否则，称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 线性无关。

线性无关的等价表述：

不存在不全为零的 $k_1,\dots,k_n$ ，使 (*) 式成立；
若 (*) 式成立，则 $k_1,\dots,k_n$ 必全取 $0$ ；
对任意不全为 $0$ 的 $k_1,\dots,k_n$ ，都有 $k_1\alpha_1 + \dots + k_n\alpha_n \neq 0$ 。

补充： $0\alpha_1 + 0\alpha_2 + \dots + 0\alpha_m = 0$

线性相关性性质的结论#

（1）：一个向量 $\alpha$ 线性相关 $\iff \alpha = 0$ ；
一个向量 $\alpha$ 线性无关 $\iff \alpha \neq 0$ 。 （2）：两个非零向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 线性相关 $\iff \alpha$ 与 $\beta$ 的分量对应成比例。 （3）：如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性相关，则该向量组线性相关。 （4）：若向量组线性无关，则其任一部分组也线性无关。 （5）：含有零向量的向量组必线性相关。 （6）： $n$ 维单位坐标向量组必线性无关。 （7）：设 $r$ 维向量 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 线性无关， $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m$ 为 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 的 $r+l$ 维接长向量，则 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m$ 线性无关。 （8）：设 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 是 $r$ 维向量， $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m$ 是其 $r+l$ 维接长向量，若 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m$ 线性相关，则 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 也线性相关。 （9）：若向量组中有两个向量成比例，则向量组必线性相关。

3.4 极大线性无关组#

定义#

设向量组 $T$ 的一个部分组 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \dots, \alpha_{i_r}$ 满足：

线性无关： $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \dots, \alpha_{i_r}$ 线性无关；
极大性：向量组 $T$ 中任意一个向量都可由 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \dots, \alpha_{i_r}$ 线性表示。

则称 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \dots, \alpha_{i_r}$ 是向量组 $T$ 的一个极大线性无关组。

性质#

（1）：向量组与其极大线性无关组等价。
（2）：线性无关的向量组，其极大线性无关组为向量组本身。
（3）：向量组的极大线性无关组可能不唯一。
（4）：向量组和它的任一极大线性无关组等价。
（5）：同一向量组的两个极大线性无关组等价，所含向量个数相等。
（6）：若向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，则向量组（Ⅰ）的极大线性无关组可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表示。
（7）：等价的向量组，其极大线性无关组也等价。

极大线性无关组的求法-初等矩阵变换法#

方法原理#

将向量组中的向量作为列向量构成矩阵 $A$ ，对 $A$ 进行初等行变换化为行阶梯形矩阵。行阶梯形矩阵中非零行的首元（主元）所在的列，对应的原矩阵中的列向量即为向量组的一个极大线性无关组。

核心依据：初等行变换不改变矩阵列向量之间的线性相关性。

具体步骤#

构造矩阵：设向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ ，构造矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)$ ；
初等行变换：对 $A$ 进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵 $B$ ；
确定主元列：在 $B$ 中找出非零行首元所在的列（主元列）；
对应原向量：原矩阵 $A$ 中与 $B$ 主元列对应的列向量，构成极大线性无关组。

示例#

求向量组 $\alpha_1 = (1, 2, 3)^T$ ， $\alpha_2 = (2, 4, 6)^T$ ， $\alpha_3 = (1, 0, 1)^T$ ， $\alpha_4 = (3, 2, 5)^T$ 的极大线性无关组。

构造矩阵：

A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 0 & 2 \\ 3 & 6 & 1 & 5 \end{pmatrix}

初等行变换：

A \xrightarrow{r_2-2r_1, r_3-3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

确定主元列：行阶梯形矩阵中，第1列和第3列为主元列（非零行首元所在列）。
对应原向量：原矩阵中第1列和第3列对应的向量 $\alpha_1, \alpha_3$ 是一个极大线性无关组。

向量的线性表示#

若需将其他向量用极大线性无关组表示，可继续将行阶梯形矩阵化为行简化阶梯形矩阵：

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 \times (-\frac{1}{2})} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-r_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

由此可得：

$\alpha_2 = 2\alpha_1$ （第2列： $(2, 0, 0)^T = 2(1, 0, 0)^T$ ）
$\alpha_4 = \alpha_1 + 2\alpha_3$ （第4列： $(1, 2, 0)^T = 1(1, 0, 0)^T + 2(0, 1, 0)^T$ ）

注意事项#

行变换而非列变换：必须使用初等行变换，不能使用初等列变换；
主元列的选择：不同的初等行变换可能得到不同的主元列位置，但极大线性无关组所含向量个数相同；
结果验证：可通过验证所选向量组线性无关，且其他向量可由其线性表示来确认正确性；
行简化阶梯形：化为行简化阶梯形矩阵可直接得到线性表示系数。

定义 3.9 向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 的任一极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩，记作 $r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)$ 。

规定：零向量组的秩为 $0$ ， $0 \le r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s) \le s$ 。

矩阵的行秩与列秩#

矩阵行向量组的秩称为行秩，列向量组的秩称为列秩。行秩 $=$ 列秩 $= r(A)$

第四部分：线性方程组#

4.1 线性方程组的表示法#

一般形式#

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}

$m$ ：方程的个数
$n$ ：未知量的个数

矩阵形式#

系数矩阵：

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}

增广矩阵：

\overline{A} = (A,b) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}

未知数列向量：

x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}

常数列向量：

b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

分类#

非齐次线性方程组 常数项 $b_1,b_2,\dots,b_m$ 不全为零，矩阵形式为： $Ax = b$
齐次线性方程组（导出组） 常数项 $b_1,b_2,\dots,b_m$ 全为零，即：
$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}$
矩阵形式为： $Ax = 0$

向量形式#

将系数矩阵 $A$ 按列分块，即 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ ，根据向量的线性运算，则非齐次线性方程组（4.1）可以表示为向量形式：

x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n\alpha_n = b

齐次线性方程组（4.2）的向量形式为：

x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n\alpha_n = 0

其中， $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 为系数矩阵 $A$ 的列向量组。

4.2 线性方程组解的判定#

定义 4.1.1 线性方程组的下列三种变换，称为线性方程组的初等变换：

交换两个方程的位置；
在方程两端乘以数 $k \neq 0$ ；
某方程两端 $l$ 倍后加到另一个方程上。

n 元非齐次线性方程组 $Ax = b$ 解的判定#

解的情况	充要条件
有解	$r(A) = r(\overline{A})$
有唯一解	$r(A) = r(\overline{A}) = n$
有无穷多解	$r(A) = r(\overline{A}) < n$
无解	$r(A) \neq r(\overline{A})$

逻辑关系#

$r(A) \neq r(\overline{A}) \implies$ 无解
$r(A) = r(\overline{A}) \implies$ $r (A) = r (\overline{A}) ⟹$ 有解
- $r(A) = r(\overline{A}) = n \implies$ 唯一解
- $r(A) = r(\overline{A}) < n \implies$ 无穷多解

齐次线性方程组解的判定#

核心结论#

$Ax=0$ 有非零解 $\iff$ 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 线性相关 $\iff r(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) < n$ $\iff r(A) < n$
$Ax=0$ 只有零解 $\iff$ 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 线性无关 $\iff r(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = n$ $\iff r(A) = n$

定理 4.2#

$n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解的充要条件是其系数矩阵 $A$ 的秩小于未知量的个数，即 $r(A) < n$ 。
$Ax=0$ 只有零解的充要条件是其系数矩阵 $A$ 的秩等于未知量的个数，即 $r(A) = n$ 。

解的情况	充要条件
有非零解	$r(A) < n$
只有零解	$r(A) = n$

推论 4.1#

对于齐次线性方程组 $Ax=0$ ，若方程个数 $m$ 小于未知数个数 $n$ ，则 $Ax=0$ 必有非零解。
（理由： $r(A) \le \min\{m, n\} = m < n$ ）

推论 4.2#

对于齐次线性方程组 $Ax=0$ ，若方程个数等于未知数个数（即 $A$ 为方阵）：

$Ax=0$ 有非零解 $\iff |A| = 0$
$Ax=0$ 只有零解 $\iff |A| \neq 0$

4.3 线性方程组的解的性质#

齐次线性方程组解的性质#

性质1：若 $\xi_1, \xi_2$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $\xi_1+\xi_2$ 也是 $Ax=0$ 的解。证明： $A(\xi_1+\xi_2)=A\xi_1+A\xi_2=0+0=0$ 。
性质2：若 $\xi$ 是 $Ax=0$ 的解，则对任意常数 $k$ ， $k\xi$ 也是 $Ax=0$ 的解。证明： $A(k\xi)=kA\xi=k\cdot0=0$ 。
性质3：若 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 是 $Ax=0$ 的解，则它们的线性组合 $c_1\xi_1+c_2\xi_2+\dots+c_s\xi_s$ （ $c_1,c_2,\dots,c_s$ 为任意常数）也是 $Ax=0$ 的解。证明： $A(c_1\xi_1+\dots+c_s\xi_s)=c_1A\xi_1+\dots+c_sA\xi_s=0$ 。

非齐次线性方程组解的性质#

（ $Ax=b$ 与其导出组 $Ax=0$ 的解的关系）

性质4：设 $\eta_1, \eta_2$ 是 $Ax=b$ 的任意两个解，则 $\eta_1-\eta_2$ 是导出组 $Ax=0$ 的解。证明： $A(\eta_1-\eta_2)=A\eta_1-A\eta_2=b-b=0$ 。
性质5：设 $\eta$ 是 $Ax=b$ 的解， $\xi$ 是导出组 $Ax=0$ 的解，则 $\xi+\eta$ 是 $Ax=b$ 的解。证明： $A(\eta+\xi)=A\eta+A\xi=b+0=b$ 。
性质6：若 $\eta^*$ 是 $Ax=b$ 的一个特解，则 $Ax=b$ 的任一解都可表示为 $\xi+\eta^*$ ，其中 $\xi$ 是导出组 $Ax=0$ 的解。

4.4 齐次线性方程组的基础解系#

定义 4.1 基础解系#

设 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解向量，若满足：

$\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 线性无关；
方程组 $Ax=0$ 的任一解向量都可以由 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 线性表示。则称 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 是 $Ax=0$ 的一个基础解系。

定理 4.3#

对于 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ ，若系数矩阵的秩 $r(A)=r < n$ ，则：

$Ax=0$ 一定存在基础解系；
基础解系中含有 $n-r$ 个线性无关的解向量。

示例：求基础解系#

写出齐次方程组： $\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + 4x_4 - 3x_5 = 0 \\ x_1 - x_2 + 3x_3 - 2x_4 - x_5 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 + 5x_4 - 5x_5 = 0 \\ 3x_1 + x_2 + 5x_3 + 6x_4 - 7x_5 = 0 \end{cases}$
对系数矩阵做初等行变换，化为阶梯形： $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 4 & -3 \\ 1 & -1 & 3 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & -5 \\ 3 & 1 & 5 & 6 & -7 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
写出同解方程组： $\begin{cases} x_1 = -2x_3 - x_4 + 2x_5 \\ x_2 = x_3 - 3x_4 + x_5 \end{cases}$
令自由变量 $(x_3, x_4, x_5)$ 分别取 $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ ，得： $\xi_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \xi_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \xi_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 即为该方程组的一个基础解系。

基础解系的判定

根据基础解系的定义及存在条件，可知：

向量组 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 是 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系，当且仅当：

（Ⅰ） $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 是 $Ax=0$ 的解向量；
（Ⅱ） $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 线性无关；
（Ⅲ）方程组 $Ax=0$ 的任一解向量都可以由 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 线性表示。

向量组 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_s$ 是 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系，当且仅当：

（Ⅰ） $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_s$ 是 $Ax=0$ 的解向量；
（Ⅱ） $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_s$ 线性无关；
（Ⅲ）向量组 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_s$ 中向量的个数等于 $n-r(A)$ （即能表示方程组的所有解）。

基础解系的性质（具备极大线性无关组的性质）#

当 $Ax=0$ 有非零解时，基础解系存在；
若 $Ax=0$ 的基础解系存在，则基础解系不唯一；
$Ax=0$ 的不同基础解系之间可以互相线性表示；
$Ax=0$ 的不同基础解系中所含向量的个数相等，均为 $n - r(A)$ （其中 $n$ 为未知数的个数， $r(A)$ 为系数矩阵的秩）。
$Ax=0$ 的任意 $n-r(A)$ 个线性无关的解向量都是它的基础解系（其中 $n$ 为未知数的个数）。
若 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_s$ 是 $Ax=0$ 的一个基础解系，则 $Ax=0$ 的任一解都可用 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_s$ 线性表示。

4.5 线性方程组解的结构#

齐次线性方程组解的结构（定理4.4）#

当齐次线性方程组 $Ax=0$ 只有零解时，问题自然解决；当有非零解时，有如下结论：

对于 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ ，若系数矩阵 $A$ 的秩 $r(A)=r<n$ ，且 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}$ 为其一个基础解系，则方程组的通解可表示为：

x = c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \dots + c_{n-r}\xi_{n-r}

其中 $c_1,c_2,\dots,c_{n-r}$ 为任意常数。

由于基础解系不唯一，齐次线性方程组的通解形式也不唯一，但都可以表示方程组的所有解。

非齐次线性方程组解的结构（定理4.5）#

对于 $n$ 元非齐次线性方程组 $Ax=b$ ，若 $r(A)=r(\overline{A})=r<n$ ，且：

$\alpha_0$ 是 $Ax=b$ 的一个特解，
$\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}$ 为其导出组 $Ax=0$ 的一个基础解系，

则方程组的通解可表示为：

x = \alpha_0 + c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \dots + c_{n-r}\xi_{n-r}

其中 $c_1,c_2,\dots,c_{n-r}$ 为任意常数。

4.6 线性方程组的求解#

一、齐次线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ #

求解步骤#

写出系数矩阵 $A$ ；
初等行变换：将 $A$ 化为行简化阶梯形矩阵；
确定秩：设 $r(A) = r$ ，未知数个数 $n$ ；
判断解的情况：
- 若 $r = n$ ，方程组只有零解；
- 若 $r < n$ ，方程组有非零解（无穷多解）；
写出基础解系：
- 确定自由未知量（非主元列对应的未知数）；
- 令自由未知量分别取 $(1,0,\dots,0), (0,1,\dots,0), \dots, (0,0,\dots,1)$ ；
- 求出对应的解向量，即为基础解系 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n-r}$ ；
写出通解： $\mathbf{x} = c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \dots + c_{n-r}\xi_{n-r}$ 其中 $c_1, c_2, \dots, c_{n-r}$ 为任意常数。

示例#

求解齐次线性方程组：

\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 5x_4 = 0 \\ 3x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 6x_4 = 0 \end{cases}

解：

系数矩阵：

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

初等行变换：

A \xrightarrow{r_2-2r_1, r_3-3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\xrightarrow{r_1-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

确定秩： $r(A) = 2$ ， $n = 4$ ， $n-r = 2$ ，有无穷多解。
确定自由未知量： $x_3, x_4$ 为自由未知量。
求基础解系：
- 令 $x_3 = 1, x_4 = 0$ ，得 $x_1 = 1, x_2 = -2$ ， $\xi_1 = (1, -2, 1, 0)^T$ ；
- 令 $x_3 = 0, x_4 = 1$ ，得 $x_1 = 2, x_2 = -3$ ， $\xi_2 = (2, -3, 0, 1)^T$ 。
通解：

\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

（ $c_1, c_2$ 为任意常数）

二、非齐次线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ #

求解步骤#

写出增广矩阵 $\bar{A} = (A \mid \mathbf{b})$ ；
初等行变换：将 $\bar{A}$ 化为行简化阶梯形矩阵；
判断解的情况：
- 若 $r(A) \neq r(\bar{A})$ ，方程组无解；
- 若 $r(A) = r(\bar{A}) = n$ ，方程组有唯一解；
- 若 $r(A) = r(\bar{A}) = r < n$ ，方程组有无穷多解；
求解：
- 唯一解：直接读出解；
- 无穷多解：先求特解 $\alpha_0$ ，再求导出组 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的基础解系 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n-r}$ ；
写出通解： $\mathbf{x} = \alpha_0 + c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \dots + c_{n-r}\xi_{n-r}$ 其中 $c_1, c_2, \dots, c_{n-r}$ 为任意常数。

示例#

求解非齐次线性方程组：

\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 2 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 7 \\ 3x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 9 \end{cases}

解：

增广矩阵：

\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 3 & 4 & 5 & 9 \end{pmatrix}

初等行变换：

\bar{A} \xrightarrow{r_2-2r_1, r_3-3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\xrightarrow{r_1-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

判断： $r(A) = r(\bar{A}) = 2 < 3$ ，有无穷多解。
求特解：令自由未知量 $x_3 = 0$ ，得 $x_1 = -1, x_2 = 3$ ，特解 $\alpha_0 = (-1, 3, 0)^T$ 。
求导出组的基础解系：
- 令 $x_3 = 1$ ，得 $x_1 = 1, x_2 = -2$ ， $\xi_1 = (1, -2, 1)^T$ 。
通解：

\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}

（ $c_1$ 为任意常数）

三、含参数的线性方程组#

讨论步骤#

对增广矩阵 $\bar{A}$ 进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵；
根据参数的取值，讨论 $r(A)$ 与 $r(\bar{A})$ 的关系；
确定方程组有解、无解、唯一解、无穷多解的条件；
在有解的情况下求解。

示例#

讨论方程组解的情况：

\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + 2x_2 + ax_3 = 2 \\ x_1 + 4x_2 + a^2x_3 = a \end{cases}

解：

增广矩阵：

\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a & 2 \\ 1 & 4 & a^2 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-r_1, r_3-r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-1 & 1 \\ 0 & 3 & a^2-1 & a-1 \end{pmatrix}

\xrightarrow{r_3-3r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-1 & 1 \\ 0 & 0 & a^2-3a+2 & a-4 \end{pmatrix}

讨论：
- $a^2-3a+2 = (a-1)(a-2)$
- 当 $a \neq 1$ 且 $a \neq 2$ 时， $r(A) = r(\bar{A}) = 3 = n$ ，有唯一解；
- 当 $a = 1$ 时， $\bar{A} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ ， $r(A) = 2 \neq r(\bar{A}) = 3$ ，无解；
- 当 $a = 2$ 时， $\bar{A} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ ， $r(A) = 2 \neq r(\bar{A}) = 3$ ，无解。

四、线性方程组解的结构定理#

定理：设 $n$ 元线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的系数矩阵 $A$ 的秩 $r(A) = r$ ，则：

若 $r(A) \neq r(\bar{A})$ ，方程组无解；
若 $r(A) = r(\bar{A}) = n$ ，方程组有唯一解；
若 $r(A) = r(\bar{A}) = r < n$ $r (A) = r (\overset{ˉ}{A}) = r < n$ ，方程组有无穷多解，通解为： $\mathbf{x} = \alpha_0 + c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \dots + c_{n-r}\xi_{n-r}$ 其中：
- $\alpha_0$ 是 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的一个特解；
- $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n-r}$ 是导出组 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的基础解系；
- $c_1, c_2, \dots, c_{n-r}$ 为任意常数。

五、解题技巧总结#

行简化阶梯形：尽量化为行简化阶梯形，可直接读出解；
自由未知量选择：通常选非主元列对应的未知量为自由未知量；
特解求法：令所有自由未知量为 0，可直接得到一个特解；
基础解系求法：对每个自由未知量轮流取 1，其余取 0；
参数讨论：注意使分母为 0 或使某行全为 0 的参数值；
验证：可将求得的解代入原方程组验证正确性。

第五部分：特征值与特征向量#

5.1 特征值与特征向量的定义与关系#

特征值与特征向量定义#

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵， $\alpha$ 为 $n$ 维非零列向量， $\lambda$ 为数。若满足： $A\alpha = \lambda\alpha$ 则称 $\lambda$ 为方阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 为 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

关键说明#

矩阵 $A$ 必须是方阵 若 $A$ 不是方阵，则 $A\alpha$ 与 $\lambda\alpha$ 的维度无法匹配，因此特征值/特征向量仅对方阵定义。
特征值 $\lambda$ 是一个数，可取 0

\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

此处 $\lambda=0$ 为该矩阵的一个特征值。

特征向量 $\alpha$ 是非零列向量

列向量：满足矩阵乘法维度要求；
非零向量： $\alpha=0$ 时等式恒成立，无法体现矩阵特性，故特征向量规定为非零。

特征值与特征向量的关系#

性质1 若 $\alpha$ 是矩阵 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $k\alpha(k\neq0)$ 也是矩阵 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

性质2 给定方阵 $A$ ，特征向量 $\alpha$ 只能属于一个特征值。

性质3 给定方阵 $A$ ，若 $\alpha_1,\alpha_2$ 都是对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，当线性组合 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\neq0$ 时，该组合也是对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

5.2 特征值与特征向量的求法#

特征值的求法（公式： $|\lambda E - A| = 0$ ）#

步骤1：写出 $\lambda E - A$ #

构造方法：
1. $\lambda$ 仅出现在主对角线上；
2. 其余元素为矩阵 $A$ 对应元素的相反数。
示例：若 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix}$ ，则 $\lambda E - A = \begin{pmatrix} \lambda-1 & -1 & -1 \\ -2 & \lambda-2 & -2 \\ -3 & -3 & \lambda-3 \end{pmatrix}$

步骤2：写出 $|\lambda E - A|$ #

将矩阵 $\lambda E - A$ 改写为行列式形式（熟练后可省略步骤1）：

|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 & -1 \\ -2 & \lambda-2 & -2 \\ -3 & -3 & \lambda-3 \end{vmatrix}

步骤3：解特征方程 $|\lambda E - A| = 0$ #

根据矩阵类型，有以下常见情况：

情况1：2阶矩阵#

直接展开行列式计算。

例： $A=\begin{pmatrix}1&1\\4&1\end{pmatrix}$ $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix}\lambda-1 & -1 \\ -4 & \lambda-1\end{vmatrix} = (\lambda-1)^2 - 4 = (\lambda+1)(\lambda-3)=0$ 解得： $\lambda_1=-1,\ \lambda_2=3$ 。

情况2：对角、上三角、下三角矩阵#

特征值等于主对角线元素，直接写出结果。

例：上三角矩阵 $A=\begin{pmatrix}-3&6&9\\0&4&-11\\0&0&7\end{pmatrix}$ ，特征值为 $\lambda_1=-3,\ \lambda_2=4,\ \lambda_3=7$ 。

情况3：特征行列式零元素较多#

按某一行（列）展开，优先选择只有一个非零元素的行/列；若零元素不足，可先用行列式性质消零再展开。

情况4：行和（列和）相等的矩阵#

先将所有列加到第1列，提取公因子，再化为上三角行列式。

例： $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix}\lambda-1 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-1 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-1\end{vmatrix} = (\lambda-3)\lambda^2 = 0$ 解得： $\lambda_1=\lambda_2=0,\ \lambda_3=3$ 。

情况5：行列式中有对应相等/相反数元素#

利用行列式性质消元，构造零元素，再展开求解。

例： $A=\begin{pmatrix}-1&1&2\\-2&2&2\\-2&1&3\end{pmatrix}$ ，通过行变换消元后可得 $|\lambda E - A|=(\lambda-1)^2(\lambda-2)=0$ ，解得 $\lambda_1=\lambda_2=1,\ \lambda_3=2$ 。

特征向量的求法#

求出特征值后，特征向量的求解就是求齐次线性方程组的非零解。

推导过程：

A\alpha = \lambda\alpha

\lambda\alpha - A\alpha = 0

(\lambda E - A)\alpha = 0,\ \alpha \text{ 为非零向量}

即：求齐次线性方程组 $(\lambda E - A)x = 0$ 的非零解。

【例10】矩阵特征值与特征向量求解#

求矩阵

A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}

的特征值与特征向量。

求特征值 计算特征行列式：
$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda+1 & -1 & 0 \\ 4 & \lambda-3 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-2)(-1)^{3+3} \begin{vmatrix} \lambda+1 & -1 \\ 4 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-2)(\lambda-1)^2$
令 $|\lambda E - A|=0$ ，解得特征值：
$\lambda_1=2,\quad \lambda_2=\lambda_3=1$
对特征值 $\lambda_1=2$ 求特征向量 构造并化简矩阵 $2E-A$ ：
$2E-A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
得同解方程组：
$\begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 = 0 \end{cases}$
取 $x_3=1$ ，得基础解系：
$c_1\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ c_1\neq 0$
对特征值 $\lambda_2=\lambda_3=1$ 求特征向量 构造并化简矩阵 $E-A$ ：
$E-A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
得同解方程组：
$\begin{cases} x_1 = -x_3 \\ x_2 = -2x_3 \end{cases}$
取 $x_3=1$ ，得基础解系：
$c_2\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix},\ c_2\neq 0$

5.3 特征值与特征向量的性质#

特征值与特征向量全套性质整理#

性质1#

$n$ 阶矩阵 $A$ 在复数域内必有 $n$ 个特征值（重根按重数计算）。

备注：该知识点一般仅作了解，通常不考核。

性质2#

$n$ 阶方阵 $A$ 与其转置矩阵 $A^\mathrm{T}$ 有相同的特征多项式，因此二者特征值完全相同； ⚠️ 注意： $A$ 和 $A^\mathrm{T}$ 特征向量一般不相等。

性质3（迹与行列式公式，高频考点）#

设 $n$ 阶方阵 $A$ 全部特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ ：

特征值之和 = 矩阵主对角线元素之和（矩阵的迹） $\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n = a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$
特征值之积 = 方阵行列式 $\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = |A|$

性质4（可逆性等价判定）#

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆 $\iff$ $A$ 所有特征值都不为 $0$ ；
$n$ 阶方阵 $A$ 不可逆 $\iff$ $A$ 至少有一个特征值为 $0$ 。

性质5#

方阵 $A$ 对应互不相同特征值的特征向量线性无关。

性质6#

取自不同特征值、各自内部线性无关的特征向量，合并之后整体仍线性无关。

性质7（重特征向量个数约束）#

若 $\lambda$ 是 $A$ 的 $k$ 重特征值，则对应于 $\lambda$ 的线性无关特征向量数量 $\le k$ ；
单特征值（一重特征值）有且仅有1个线性无关的特征向量。

性质8（矩阵变换后特征值对照表，必考）#

设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值， $\boldsymbol{\alpha}$ 是对应特征向量：

矩阵	$A$	$A^m$	$kA$	$A+E$	$f(A)$ 多项式矩阵	$A^2+2A+3E$	$A^{-1}$	$A^*$ 伴随矩阵
对应特征值	$\lambda$	$\lambda^m$	$k\lambda$	$\lambda+1$	$f(\lambda)$	$\lambda^2+2\lambda+3$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{
特征向量	$\boldsymbol{\alpha}$	$\boldsymbol{\alpha}$	$\boldsymbol{\alpha}$	$\boldsymbol{\alpha}$	$\boldsymbol{\alpha}$	$\boldsymbol{\alpha}$	$\boldsymbol{\alpha}$	$\boldsymbol{\alpha}$

配套例题#

已知 $8$ 是 $A$ 的特征值， $|A|=15$ ：

$2A$ 特征值： $2\times8$
$-14A$ 特征值： $-14\times8$
$A^3$ 特征值： $8^3$
$3A^2$ 特征值： $3\times8^2$
$A+E$ 特征值： $8+1$
$2A^2+A+3E$ 特征值： $2\times8^2+8+3$
$A^4+A^3+2A^2+5A-6E$ 特征值： $8^4+8^3+2\times8^2+5\times8-6$
$A^{-1}$ 特征值： $\dfrac{1}{8}$
$A^*$ 特征值： $\dfrac{15}{8}$

推论#

若 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值， $f(x)$ 为多项式，且 $f(A)=\boldsymbol{O}$ （零矩阵），则必有 $f(\lambda)=0$ 。

性质9（秩1矩阵专用结论）#

$n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$ ，若 $r(A)=1$ ：

一个特征值： $\lambda_1=\displaystyle\sum_{i=1}^n a_{ii}$ （矩阵的迹）
剩余 $n-1$ 个特征值： $\lambda_2=\lambda_3=\dots=\lambda_n=0$

5.4 相似矩阵的概念与性质#

一、相似矩阵定义（定义5.2）#

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，满足 $P^{-1}AP=B$ 则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$ ， $B$ 是 $A$ 的相似矩阵。

特殊定义：若方阵 $A$ 能和对角矩阵相似，则称 $A$ 可对角化。

二、相似矩阵整体性质#

性质1：相似是等价关系 等价关系满足三条公理：

反身性： $A\sim A$
对称性：若 $A\sim B$ ，则 $B\sim A$
传递性：若 $A\sim B,\ B\sim C$ ，则 $A\sim C$

推论： $A\sim B \implies A$ 与 $B$ 等价（ $A\cong B$ ）。

性质2：秩相等 若 $A\sim B$ ，则 $r(A)=r(B)$ 。依据：相似矩阵必等价，等价矩阵秩相同。

性质3：特征多项式、特征值完全相同 若 $A\sim B$ ，则 $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ ，二者特征值一致。

推论

若 $A$ 相似于对角矩阵，则 $A$ 的全部特征值就是该对角矩阵主对角线元素。

性质4：行列式、迹相等 若 $A\sim B$ ，则： $|A|=|B|,\quad \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)$

性质5：可逆性同步

$|A|,|B|$ 同时为0，或同时非0；
$A$ 可逆 $\iff B$ 可逆；
$A$ 不可逆 $\iff B$ 不可逆。简言之：相似矩阵要么同时可逆，要么同时不可逆。

性质6：逆矩阵、伴随矩阵也相似（ $A,B$ 均可逆时）

$A^{-1}\sim B^{-1}$
$A^{*}\sim B^{*}$

性质7：幂矩阵相似 若 $A\sim B$ ， $m$ 为正整数，则 $A^m\sim B^m$ 。

性质8：转置矩阵相似 若 $A\sim B$ ，则 $A^\mathrm{T}\sim B^\mathrm{T}$ 。

性质9：相似矩阵的性质 若 $A\sim B$ ， $k$ 为常数， $f(x)$ 为一元多项式，则： $kA\sim kB,\quad A+kE\sim B+kE,\quad f(A)\sim f(B)$

$A\sim B$ 完整推论导图#

A\sim B\Rightarrow \begin{cases} A\cong B\Rightarrow r(A)=r(B)\\ A、B\text{ 特征值相同} \begin{cases} |A|=|B|\\ \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B) \end{cases}\\ A、B\text{ 可逆性完全一致}\\ A^{-1}\sim B^{-1},\ A^*\sim B^*\\ A^\mathrm{T}\sim B^\mathrm{T}\\ kA\sim kB\\ f(A)\sim f(B)\\ A^m\sim B^m\ (m\text{ 正整数}) \end{cases}

5.5 矩阵的对角化#

一、可对角化三大核心问题#

如何判断方阵 $A$ 是否能相似对角化？
若可对角化，可逆变换矩阵 $P$ 如何求解？
对角矩阵 $\Lambda$ 如何求解？

二、可对角化判定定理#

定理5.1（充要核心定理） $n$ 阶方阵 $A$ 可对角化 $\iff A$ 拥有 $n$ 个线性无关的特征向量。

定理5.2（充分条件，常用快速判定） 若 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $A$ 一定可对角化。

注意：该条件只是充分非必要，有重特征值也有可能可对角化。

定理5.3（重特征值判定充要条件） $n$ 阶方阵 $A$ 可对角化 $\iff$ 每一个 $s$ 重特征值 $\lambda$ ，对应的线性无关特征向量个数恰好等于重数 $s$ ，等价表述：

齐次方程组 $(\lambda E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol 0$ 的基础解系含 $s$ 个向量；
$n-r(\lambda E-A)=s$ ；
$r(\lambda E-A)=n-s$ 。

三、 $P$ 与对角矩阵 $\Lambda$ 求解公式#

设 $A\boldsymbol\alpha_i=\lambda_i\boldsymbol\alpha_i\quad(i=1,2,\dots,n)$ ， $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\dots,\boldsymbol\alpha_n$ 线性无关：

A(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\dots,\boldsymbol\alpha_n) =(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\dots,\boldsymbol\alpha_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}

记：

P=(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\dots,\boldsymbol\alpha_n),\quad \Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)

则有 $P^{-1}AP=\Lambda$ 。

关键配对规则

$P$ 的第 $i$ 列 = 特征值 $\lambda_i$ 对应的特征向量 $\boldsymbol\alpha_i$ ；

$P$ 列向量顺序、 $\Lambda$ 对角线特征值顺序必须一一对应，顺序可同步调换。

四、完整例题演示#

题目

A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix}

判断能否对角化；若可以，求 $P,\Lambda$ 满足 $P^{-1}AP=\Lambda$ 。

步骤1：求特征值

|\lambda E-A|=(\lambda-2)^2(\lambda+7)=0

特征值： $\lambda_1=\lambda_2=2$ （二重）， $\lambda_3=-7$ （一重）。

步骤2：判定可对角化 二重特征值 $\lambda=2$ 解方程组 $(2E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol0$ ，得到2个线性无关特征向量；一重特征值天然对应1个线性无关特征向量，总计3个线性无关特征向量， $A$ 可对角化。

步骤3：求特征向量

$\lambda_1=\lambda_2=2$ ： $\boldsymbol\alpha_1=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix},\boldsymbol\alpha_2=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$
$\lambda_3=-7$ ： $\boldsymbol\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$

步骤4：构造 $P,\Lambda$

P=(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3)= \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix},\quad \Lambda= \begin{pmatrix} 2 & & \\ & 2 & \\ & & -7 \end{pmatrix}

满足 $P^{-1}AP=\Lambda$ 。

5.6 内积与正交#

一、向量内积（数量积）四条基本性质#

设 $\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta,\boldsymbol \alpha_1,\boldsymbol \alpha_2$ 为 $n$ 维向量， $k$ 为实数：

非负性： $(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)\ge 0$ ，且 $(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)=0 \iff \boldsymbol\alpha=\boldsymbol 0$ 若 $\boldsymbol\alpha=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ ，则 $(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)=x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2$ 。
对称性： $(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=(\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha)$
齐次性： $(k\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=k(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)$
线性可加性 $\begin{align*} (\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\beta)&=(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\beta)+(\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\beta)\\ (\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta_1+\boldsymbol\beta_2)&=(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta_1)+(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta_2) \end{align*}$

二、向量长度（范数/模）#

1. 定义#

\|\boldsymbol\alpha\|=\sqrt{(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}

满足 $(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)=\|\boldsymbol\alpha\|^2$ 。

2. 单位向量与单位化#

单位向量：长度 $\|\boldsymbol\alpha\|=1$ 的向量；
单位化公式：非零向量 $\boldsymbol\alpha$ ，令 $\boldsymbol\beta=\frac{1}{\|\boldsymbol\alpha\|}\boldsymbol\alpha$ $\boldsymbol\beta$ 即为单位向量，该变换过程称为单位化。

三、正交相关定义#

定义5.6 向量正交 若 $(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=0$ ，称 $\boldsymbol\alpha$ 与 $\boldsymbol\beta$ 正交，记作 $\boldsymbol\alpha\perp\boldsymbol\beta$ 。备注：

零向量和任意向量都正交；
只有零向量和自身正交。

定义5.7 正交向量组 两两正交的非零向量构成的向量组；单个非零向量也属于正交向量组。

定义5.8 标准正交（单位正交）向量组 每个向量都是单位向量的正交向量组，满足：

(\boldsymbol\alpha_i,\boldsymbol\alpha_j)= \begin{cases} 1,&i=j\\ 0,&i\ne j \end{cases}

定理5.4 正交向量组一定线性无关；线性无关向量组不一定正交。

四、施密特正交化（线性无关组 → 等价正交组）#

1. 正交化公式#

已知线性无关向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\dots,\boldsymbol\alpha_s$ ：

\begin{align*} \boldsymbol\beta_1&=\boldsymbol\alpha_1\\ \boldsymbol\beta_2&=\boldsymbol\alpha_2-\frac{(\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\beta_1)}{(\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_1)}\boldsymbol\beta_1\\ \boldsymbol\beta_3&=\boldsymbol\alpha_3-\frac{(\boldsymbol\alpha_3,\boldsymbol\beta_1)}{(\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_1)}\boldsymbol\beta_1-\frac{(\boldsymbol\alpha_3,\boldsymbol\beta_2)}{(\boldsymbol\beta_2,\boldsymbol\beta_2)}\boldsymbol\beta_2 \end{align*}

得到的 $\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_2,\boldsymbol\beta_3$ 两两正交，且与原向量组等价。

2. 再单位化得到标准正交组#

\boldsymbol\gamma_1=\frac{\boldsymbol\beta_1}{\|\boldsymbol\beta_1\|},\quad \boldsymbol\gamma_2=\frac{\boldsymbol\beta_2}{\|\boldsymbol\beta_2\|},\quad \boldsymbol\gamma_3=\frac{\boldsymbol\beta_3}{\|\boldsymbol\beta_3\|}

$\boldsymbol\gamma_1,\boldsymbol\gamma_2,\boldsymbol\gamma_3$ 就是和原向量组等价的标准正交向量组。

5.7 实对称矩阵的相似对角化#

一、正交相似定义（定义5.10）#

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，若存在正交矩阵 $Q$ ，满足： $Q^{-1}AQ=B$ 则称 $A$ 与 $B$ 正交相似。补充：正交矩阵满足 $Q^{-1}=Q^\mathrm{T}$ ，因此上式等价于 $Q^\mathrm{T}AQ=B$ 。

二、实对称矩阵核心7条性质#

实对称矩阵满足 $\boldsymbol A^\mathrm{T}=A$ ，全部性质罗列如下： 性质1 实对称矩阵所有特征值都是实数，对应的特征向量全为实向量。

性质2 属于不同特征值的特征向量互相正交。

一般方阵仅能保证线性无关，实对称矩阵可加强为正交。

性质3 对 $s$ 重特征值 $\lambda$ ，恒有 $r(\lambda E-A)=n-s$ 。

性质4 $s$ 重特征值恰好对应** $s$ 个线性无关**的特征向量。

性质5 $n$ 阶实对称矩阵一定拥有 $n$ 个线性无关的特征向量。

性质6 实对称矩阵必定可以相似对角化（无条件可对角化）。

性质7 实对称矩阵一定能和对角矩阵正交相似；即存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{-1}AQ=Q^\mathrm{T}AQ=\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$ $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ 是 $A$ 的全部特征值。

三、实对称矩阵两种对角化完整步骤#

前置通用两步（两种方式共用）#

求特征值：解特征方程 $|\lambda E-A|=0$ ，得到全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ ；
求特征向量：对每个特征值 $\lambda_i$ ，解 $(\lambda_i E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ ，得到 $n$ 个线性无关特征向量 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\dots,\boldsymbol\alpha_n$ 。

方式1：普通相似对角化（构造可逆矩阵 $P$ ）#

直接拼接特征向量构成可逆矩阵： $P=(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\dots,\boldsymbol\alpha_n)$
结果： $P^{-1}AP=\Lambda$ ， $A\sim\Lambda$

适用：题目只要求相似对角化，不要求正交矩阵。

方式2：正交相似对角化（构造正交矩阵 $Q$ ，必考）#

正交化处理
- 不同特征值对应的特征向量天然正交，无需处理；
- 同一重特征值内部多个线性无关特征向量，用施密特正交化得到正交向量组 $\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_2,\dots,\boldsymbol\beta_n$ 。
单位化 $\boldsymbol\gamma_i=\frac{1}{\|\boldsymbol\beta_i\|}\boldsymbol\beta_i,\quad i=1,2,\dots,n$
拼接正交矩阵： $Q=(\boldsymbol\gamma_1,\boldsymbol\gamma_2,\dots,\boldsymbol\gamma_n)$
结果： $Q^{-1}AQ=Q^\mathrm{T}AQ=\Lambda$ $A$ 与对角阵正交相似。

适用：题目明确要求正交矩阵、二次型标准化。

四、实对称矩阵正交相似对角化分三类情形完整操作#

实对称矩阵正交相似对角化分三类情形完整操作#

设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ ，要构造正交矩阵 $\boldsymbol Q$ 使得 $\boldsymbol Q^\mathrm{T}\boldsymbol A\boldsymbol Q=\boldsymbol \Lambda$ ，按特征值重数分3种情况处理：

情形一： $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 三个互不相同单特征值#

实对称矩阵不同特征值对应的特征向量天然正交，无需施密特正交化，只做单位化：

对每个特征值求出特征向量 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3$ ；
分别单位化：

\boldsymbol\gamma_2=\frac{\boldsymbol\alpha_2}{\|\boldsymbol\alpha_2\|},\quad \boldsymbol\gamma_3=\frac{\boldsymbol\alpha_3}{\|\boldsymbol\alpha_3\|}$$ 3. 正交矩阵 $\boldsymbol Q=(\boldsymbol\gamma_1,\boldsymbol\gamma_2,\boldsymbol\gamma_3)$。 --- #### 情形二：$\lambda_1$ 单根，$\lambda_2=\lambda_3$ 二重特征值 1. 单特征值 $\lambda_1$：特征向量 $\boldsymbol\alpha_1$ 直接单位化得到 $\boldsymbol\gamma_1$； 2. 二重特征值 $\lambda_2=\lambda_3$：解方程组得到2个线性无关特征向量 $\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3$ - 这两个同特征值的向量**不一定正交**，必须先做**施密特正交化**得到正交向量 $\boldsymbol\beta_2,\boldsymbol\beta_3$； - 再分别单位化得到 $\boldsymbol\gamma_2,\boldsymbol\gamma_3$； 3. 拼接正交矩阵 $\boldsymbol Q=(\boldsymbol\gamma_1,\boldsymbol\gamma_2,\boldsymbol\gamma_3)$。 --- #### 情形三：$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3$ 三重特征值 3个线性无关特征向量 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3$ 全部属于同一个重特征值，互相不一定正交： 1. 先对 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3$ 整体做**施密特正交化**，得到两两正交的 $\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_2,\boldsymbol\beta_3$； 2. 再逐个单位化得到 $\boldsymbol\gamma_1,\boldsymbol\gamma_2,\boldsymbol\gamma_3$； 3. 拼接得到正交矩阵 $\boldsymbol Q=(\boldsymbol\gamma_1,\boldsymbol\gamma_2,\boldsymbol\gamma_3)$。 --- ## 核心规则总结 1. **跨不同特征值**：特征向量自动正交，跳过正交化，仅单位化； 2. **同一多重特征值内部**：线性无关特征向量不一定正交，**必须施密特正交化 + 单位化两步**； 3. 最终全部单位化后的列向量拼成矩阵，一定是正交矩阵，满足 $\boldsymbol Q^{-1}=\boldsymbol Q^\mathrm{T}$。 ### 补充关键对比 | 矩阵类型 | 能否对角化 | 不同特征值特征向量关系 | 能否正交相似对角化 | |----------------|--------------------------|------------------------|--------------------| | 普通 $n$ 阶方阵 | 不一定，要看无关特征向量个数 | 仅线性无关 | 不一定 | | 实对称矩阵 | 一定可以 | 互相正交 | 一定可以 | --- # 第六部分：二次型 --- ## 6.1 二次型及矩阵表示 ### 一、二次型定义（定义6.1） #### 1. 文字定义 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的**二次齐次多项式**称为 $n$ 元二次型，简称二次型；系数全为实数时，称作**实二次型**，本课程只讨论实二次型。 展开形式：

\begin{align*} f(x_1,x_2,\dots,x_n) =&a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\dots+2a_{1n}x_1x_n\ &+a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\dots+2a_{2n}x_2x_n\ &+\dots+a_{nn}x_n^2 \end{align*}

#### 2. 判断规则 - 只允许二次项（平方项 $x_i^2$、交叉项 $x_ix_j,i\ne j$）； - 不能出现一次项、常数项、三次及更高次项。 例题判断结果： 1. $f=2x_1^2-x_2^2+4x_3^2+5x_1x_2-x_1x_3+3x_2x_3$：✅ 是二次型 2. $f=x_1x_2-x_1x_3+3x_2x_3$：✅ 是二次型（无平方项仅有交叉项也成立） 3. $f=x_1^2-2x_2^2+4x_3^2$：✅ 是二次型（纯平方项，标准型） 4. $f=-x_1^2+x_2^2+x_1x_2-x_1x_3+\boldsymbol3$：❌ 含常数项，不是 5. $f=x^2-xy+\boldsymbol y$：❌ 含一次项，不是 --- ### 二、二次型矩阵表达式（核心） #### 1. 矩阵标准写法 记

\boldsymbol x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\\vdots\x_n\end{pmatrix},\quad A=(a_{ij}),\ A^\mathrm{T}=A

二次型唯一对称矩阵形式：

f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\boldsymbol x^\mathrm{T}A\boldsymbol x

**规定：二次型的矩阵 $A$ 必须是实对称矩阵**。 --- ### 三、二次型标准形（定义6.3） #### 1. 定义 二次型只含平方项、不含任何交叉项 $x_ix_j(i\ne j)$：

f=d_1x_1^2+d_2x_2^2+\dots+d_nx_n^2

称作二次型的一个**标准形**；$d_i$ 可为任意实数（包含0）。 #### 2. 由二次型写出对称矩阵 $A$ 口诀 1. 平方项 $x_i^2$ 系数直接放到主对角线 $a_{ii}$； 2. 交叉项 $2a\,x_ix_j$，系数除以 $2$，分别填入 $a_{ij}$、$a_{ji}$，保证对称。 示例：

f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2-8x_2x_3+x_3^2

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\ 1 & 3 & -4\ 0 & -4 & 1 \end{pmatrix}

#### 3. 由对称矩阵还原二次型口诀 1. 主对角线元素 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 系数； 2. 上三角元素 $a_{ij}$ 乘以 $2$，作为 $x_ix_j$ 交叉项系数。 示例：

A=\begin{pmatrix}3&1&0\1&-1&-2\0&-2&5\end{pmatrix}

f=3x_1^2-x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_2x_3

#### 4. 二次型的秩 二次型的秩 = 它的对称矩阵 $A$ 的秩：

r(f)=r(A)

> 非对称矩阵形式必须先对称化，再求秩。 --- ### 四、二次型规范形（定义6.4） #### 1. 定义 标准形的平方项系数只能取 $\boldsymbol 1,-1,0$ 时，称为二次型的**规范形**，标准排布形式：

f=z_1^2+\dots+z_p^2-z_{p+1}^2-\dots-z_r^2

其中 $r=r(A)$ 是二次型的秩，$p\le r\le n$。 #### 2. 对应矩阵结构 规范形的矩阵是对角阵，对角元依次为 $p$ 个$1$、$(r-p)$个$-1$、$(n-r)$个$0$，分块写法：

\Lambda=\begin{pmatrix} E_p & & \ & -E_{r-p} & \ & & O_{n-r} \end{pmatrix}

#### 3. 关键结论 **惯性定理**：任意实二次型的规范形**唯一**，与可逆线性变换的选取无关。 --- ### 惯性指数与符号差（定义6.5） 设二次型秩为 $r$ 1. **正惯性指数 $p$**：标准形/规范形里，系数为正数的平方项个数； 2. **负惯性指数 $q$**：标准形/规范形里，系数为负数的平方项个数； 3. **符号差**：$p-q$； 4. 核心等式：$\boldsymbol r=p+q$。 --- ### 线性变换（定义6.6） #### 1. 矩阵表达 两组变量 $\boldsymbol x=(x_1,\dots,x_n)^\mathrm T,\boldsymbol y=(y_1,\dots,y_n)^\mathrm T$，变换记作：

\boldsymbol x=C\boldsymbol y

$C=(c_{ij})$ 是 $n$ 阶变换矩阵。 #### 2. 两类重要线性变换 1. **可逆线性变换** $|C|\ne 0$（$C$ 满秩、非退化、非奇异），逆变换：$\boldsymbol y=C^{-1}\boldsymbol x$。 2. **正交变换** 若 $C$ 是正交矩阵（$C^{-1}=C^\mathrm T$），则 $\boldsymbol x=C\boldsymbol y$ 为正交线性变换。 #### 3. 变换复合定理（定理6.1） 多个线性变换连续复合后的总矩阵 = 各变换矩阵依次相乘； 多个可逆线性变换复合后，仍然是可逆线性变换。 --- ### 可逆线性变换作用于二次型（定理6.2） 1. 二次型 $\boldsymbol x^\mathrm T A\boldsymbol x$ 做可逆变换 $\boldsymbol x=C\boldsymbol y$：

\boldsymbol x^\mathrm T A\boldsymbol x =(C\boldsymbol y)^\mathrm T A(C\boldsymbol y) =\boldsymbol y^\mathrm T (C^\mathrm T A C)\boldsymbol y =\boldsymbol y^\mathrm T B\boldsymbol y

其中 $B=C^\mathrm T A C$。 2. 结论： - 变换后依旧是二次型； - 新矩阵 $B$ 与原矩阵 $A$ **合同**； - 秩不变：$r(B)=r(A)$，即二次型秩在可逆变换下恒定。 --- ### 标准形、规范形、惯性指数关系梳理 | 形式 | 系数取值 | 是否唯一 | 核心标识量 | |------------|------------------------|----------------|--------------------------| | 标准形 | 任意实数 | 不唯一 | 正、负惯性指数唯一不变 | | 规范形 | 仅 $1,-1,0$ | **唯一** | $p,q,r$ 全部固定不变 | --- ### 合同矩阵定义（定义6.8） 设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，若存在**可逆矩阵 $C$**，满足： $$C^\mathrm{T}AC=B$$ 则称矩阵 $A$ 与 $B$ **合同**，记作 $A\simeq B$；该变换称作合同变换，$C$ 是合同变换矩阵。 #### 相似、正交相似、合同公式对比 | 关系 | 核心等式 | 变换矩阵要求 | |--------------|-------------------------|--------------------| | 相似 | $P^{-1}AP=B$ | $P$ 可逆 | | 正交相似 | $P^{-1}AP=P^\mathrm{T}AP=B$ | $P$ 正交矩阵 | | 合同 | $P^\mathrm{T}AP=B$ | $P$ 可逆 | --- ### 合同关系三大等价性质（等价关系） 1. **反身性**：任意方阵 $A$，$A\simeq A$； 2. **对称性**：若 $A\simeq B$，则 $B\simeq A$； 3. **传递性**：若 $A\simeq B,\ B\simeq C$，则 $A\simeq C$。 --- ### 合同矩阵重要推论 1. **秩相等**：$A\simeq B \implies r(A)=r(B)$，同时 $A,B$ 等价； 2. **对称性同步**：$A$ 是对称矩阵 $\iff B$ 是对称矩阵； 3. **可逆性一致**：$A,B$ 同时可逆或同时不可逆；若均可逆，则 $A^{-1}\simeq B^{-1}$； 4. **转置也合同**：$A\simeq B \implies A^\mathrm{T}\simeq B^\mathrm{T}$。 --- ### 二次型视角下的合同结论 #### 结论1（普通可逆线性变换） 二次型 $f=\boldsymbol x^\mathrm{T}A\boldsymbol x$，做可逆变换 $\boldsymbol x=C\boldsymbol y$，得到 $f=\boldsymbol y^\mathrm{T}(C^\mathrm{T}AC)\boldsymbol y=\boldsymbol y^\mathrm{T}B\boldsymbol y$，则 $A\simeq B$。 #### 结论2（正交变换特殊情况） 正交变换 $\boldsymbol x=Q\boldsymbol y$（$Q$ 正交矩阵，$Q^\mathrm{T}=Q^{-1}$），此时 $$B=Q^\mathrm{T}AQ=Q^{-1}AQ$$ $A$ 与 $B$ **既相似，又合同**。 --- ## 6.2 化二次型为标准形 ### 方法1：配方法（可逆线性变换，标准形不唯一） #### 分类操作步骤 1. **含平方项（第一题例题）** 优先对出现平方项的变量配方，逐步消去交叉项： $$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-3x_2^2+4x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3$$ 先把含 $x_1$ 的项全部收拢配方，再依次对 $x_2$ 配方，最终化成纯平方项： $$f=y_1^2-y_2^2+4y_3^2$$ 同时写出可逆线性变换 $\boldsymbol x=C\boldsymbol y$，$C$ 为可逆变换矩阵。 2. **无平方项（只有交叉项，第二题例题）** 先做可逆变换构造出平方项： $$\begin{cases}x_1=y_1+y_2\\x_2=y_1-y_2\\x_3=y_3\end{cases}$$ 代入后产生 $y_1^2,y_2^2$，再继续常规配方，最终得到标准形。 #### 配套定理6.3 任意 $n$ 元二次型，都能通过**可逆线性变换**化为标准形： $$f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\dots+d_ny_n^2$$ ⚠️ 配方法得到的标准形系数 $d_i$ 不唯一，但**正、负惯性指数固定不变**。 --- ### 方法2：正交变换法（正交相似，标准形唯一） #### 核心原理 正交变换化二次型 = 实对称矩阵正交相似对角化。 正交矩阵 $Q$ 满足 $Q^\mathrm T=Q^{-1}$，因此 $Q^\mathrm TAQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$，$A$ 和对角阵**既相似又合同**。 #### 定理6.5 实二次型 $f=\boldsymbol x^\mathrm TA\boldsymbol x$（$A^\mathrm T=A$），正交变换 $\boldsymbol x=Q\boldsymbol y$ 可化为： $$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dots+\lambda_ny_n^2$$ $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ 恰好是矩阵 $A$ 的全部特征值。 #### 完整解题步骤（例题演示） $$f=2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3$$ 1. 写出对称矩阵 $$A=\begin{pmatrix}2&-2&0\\-2&1&-2\\0&-2&0\end{pmatrix}$$ 2. 解特征方程 $|\lambda E-A|=0$，求出特征值 $\lambda_1=1,\lambda_2=4,\lambda_3=-2$； 3. 逐个求特征向量，不同特征值向量天然正交； 4. 全部特征向量单位化，拼成正交矩阵 $Q$； 5. 正交变换 $\boldsymbol x=Q\boldsymbol y$，直接写出标准形： $$f=y_1^2+4y_2^2-2y_3^2$$ --- ## 二、实对称矩阵合同判定核心结论 ### 定理6.4 任意 $n$ 阶实对称矩阵 $A$，**一定合同于对角矩阵**。 ### 定理6.8（合同充要条件） 实对称矩阵 $A\simeq B$ 的等价判定（全部互为充要）： 1. 秩相等 + 正惯性指数相等； 2. 秩相等 + 负惯性指数相等； 3. 正、负惯性指数全部相同； 4. 规范形完全一致； 5. 正特征值个数、负特征值个数分别对应相等。 ### 重要推论 若两个实对称矩阵**相似**，则二者一定合同。 > 解释：相似特征值完全相同，正负特征值数量一致，惯性指数相等，必然合同；反之合同不一定相似。 --- ### 三、两种化标准形方法对比表 | 对比维度 | 配方法（可逆线性变换）| 正交变换法 | |-------------------------|---------------------------------|-----------------------------------| | 变换矩阵性质 | $C$ 可逆，无正交要求 | $Q$ 正交矩阵，$Q^\mathrm T=Q^{-1}$ | | $A$ 与对角阵关系 | 仅合同，不相似 | 既合同，又相似 | | 标准形系数 | 任意实数，不唯一 | 只能是 $A$ 的特征值，唯一 | | 惯性指数 | 唯一不变 | 唯一不变 | | 适用场景 | 只求标准形、规范形、惯性指数 | 题目明确要求正交变换、二次曲面几何变换 | --- ### 四、做题易错提醒 💡 1. 配方法得到的变换矩阵 $C$ 必须验算行列式 $|C|\ne0$，保证变换可逆； 2. 正交变换标准形系数固定为特征值，不需要额外配方，直接写结果； 3. 只有实对称矩阵能用「惯性指数相等」判定合同，普通方阵不适用该结论； 4. 相似 $\implies$ 合同（实对称），合同 $\nRightarrow$ 相似。 ## 6.3 二次型与对称矩阵的有定性 ### 一、二次型定性五大分类（定义6.9） 设实二次型 $f(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^\mathrm T A \boldsymbol x,\ A^\mathrm T=A$，对任意非零实向量 $\boldsymbol x\ne\boldsymbol 0$： 1. **正定**：恒有 $f(\boldsymbol x)>0$ 2. **负定**：恒有 $f(\boldsymbol x)<0$ 3. **半正定**：恒有 $f(\boldsymbol x)\ge0$，存在非零向量使 $f=0$ 4. **半负定**：恒有 $f(\boldsymbol x)\le0$，存在非零向量使 $f=0$ 5. **不定**：既有 $\boldsymbol x_1$ 使 $f>0$，又有 $\boldsymbol x_2$ 使 $f<0$ #### 例题定性判断 1. $f=2x_1^2+x_2^2+5x_3^2$：正定 2. $f=-x_1^2-3x_2^2-4x_3^2$：负定 3. $f=x_1^2+3x_2^2+0x_3^2$：半正定（取 $\boldsymbol x=(0,0,1)^\mathrm T,f=0$） --- ### 二、正定二次型核心性质（定理6.9） 正定二次型经过**任意可逆线性变换**，仍然是正定二次型。 > 本质：可逆变换不改变正惯性指数，正定要求正惯性指数 $p=n$，因此不变。 --- ### 三、正定矩阵（实对称）充要判定方法（全套考研结论） 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，下述条件**全部等价**： #### 方法1：惯性指数判定 正惯性指数 $p=n$；规范形为 $y_1^2+y_2^2+\dots+y_n^2$。 #### 方法2：合同判定 $A$ 合同于单位矩阵 $E$，$\exists$ 可逆阵 $C$，$C^\mathrm T A C=E$。 #### 方法3：矩阵分解判定 存在可逆矩阵 $C$，使得 $\boldsymbol A=C^\mathrm T C$。 #### 方法4：特征值判定 $A$ 的所有特征值 $\lambda_i>0$。 #### 方法5：顺序主子式判定（霍尔维茨定理，最常用） $A$ 的**各阶顺序主子式全部大于0**：

D_k=\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1k}\ \vdots & & \vdots\ a_{k1} & \dots & a_{kk} \end{vmatrix}>0,\quad k=1,2,\dots,n

$k$ 阶顺序主子式：取矩阵前 $k$ 行、前 $k$ 列构成子方阵的行列式。 --- ### 四、正定矩阵必要条件（只能排除，不能判定正定） 1. $A$ 一定是对称矩阵（正定前提）； 2. 主对角线元素全部 $a_{ii}>0$； 3. 行列式 $|A|>0$； 4. $A$ 可逆。 --- ### 五、正定矩阵常用运算性质 1. $A^\mathrm T,A^{-1},A^*$ 均正定； 2. $kA\ (k>0)$、$A^m$（$m$ 正整数）正定； 3. $A,B$ 同阶正定/半正定 $\implies A+B$ 正定。 --- ### 六、做题思路速查表 | 已知条件 | 首选判定方法 | |------------------------------|----------------------------------| | 已化标准形/规范形 | 数正惯性指数是否等于阶数 $n$ | | 给出全部特征值 | 逐个检查是否全大于0 | | 低阶方阵、无特征值 | 逐阶计算顺序主子式，全部>0即正定 | | 矩阵表达式变形证明题 | 证 $A=C^\mathrm T C$ 或 $A\simeq E$ | --- #### 例7 证明：$A,B$ 均 $n$ 阶正定矩阵 $\implies A+B$ 正定 1. **验证对称性** 正定矩阵必对称：$A^\mathrm T=A,\ B^\mathrm T=B$ $$(A+B)^\mathrm T=A^\mathrm T+B^\mathrm T=A+B$$ 故 $A+B$ 是实对称矩阵，满足二次型矩阵前提。 2. **正定定义验证** 任取非零列向量 $\boldsymbol x\ne\boldsymbol 0$： $$\boldsymbol x^\mathrm T(A+B)\boldsymbol x=\boldsymbol x^\mathrm T A\boldsymbol x+\boldsymbol x^\mathrm T B\boldsymbol x$$ $A,B$ 正定，因此 $\boldsymbol x^\mathrm T A\boldsymbol x>0,\ \boldsymbol x^\mathrm T B\boldsymbol x>0$，相加得： $$\boldsymbol x^\mathrm T(A+B)\boldsymbol x>0$$ 由正定定义，$A+B$ 正定。 --- #### 例8 已知实对称矩阵 $A^2-3A+2E=O$，证 $A+E$ 正定 1. 特征值满足矩阵多项式方程：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $$\lambda^2-3\lambda+2=0 \implies (\lambda-1)(\lambda-2)=0$$ 解得 $A$ 的特征值只能是 $\lambda_1=1,\ \lambda_2=2$。 2. 设 $A$ 特征值为 $\lambda$，则 $A+E$ 的特征值为 $\lambda+1$： - $\lambda=1$ 时，$\lambda+1=2>0$ - $\lambda=2$ 时，$\lambda+1=3>0$ 3. $A$ 实对称 $\implies A+E$ 实对称；**全部特征值大于0**，故 $A+E$ 正定。 --- #### 例9 求 $t$ 的取值，使二次型正定 $$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+tx_2x_3$$ **步骤1：写出实对称矩阵** $$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & \dfrac t2\\ 0 & \dfrac t2 & 1 \end{pmatrix}$$ **步骤2：顺序主子式全大于0（霍尔维茨定理）** 1阶顺序主子式：$D_1=2>0$，恒成立； 2阶顺序主子式： $$D_2=\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=2-1=1>0$$ 3阶顺序主子式：

D_3= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0\ 1 & 1 & \frac t2\ 0 & \frac t2 & 1 \end{vmatrix} =2\left(1-\frac{t^2}{4}\right)-1\cdot\left(1-0\right) =1-\frac{t^2}{2}>0

**步骤3：解不等式**

1-\frac{t^2}{2}>0 \implies t^2<2

最终取值范围： $$\boldsymbol{-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}}$$ --- **三类正定证明题型方法总结** | 题型特征 | 首选方法 | |--------|--------| | 矩阵相加、线性组合证明正定 | 原始定义 $\boldsymbol x^\mathrm T A\boldsymbol x>0$ | | 给出矩阵多项式方程（$f(A)=O$） | 求特征值，验证所有特征值$>0$ | | 含参数二次型求参数范围 | 顺序主子式逐阶大于0，解不等式 |

仙鹤的学习小窝

线性代数笔记#

目录#

第一部分：行列式#

第二部分：矩阵#

第三部分：向量#

第四部分：线性方程组#

第五部分：特征值与特征向量#

第六部分：二次型#

第一部分：行列式#

1.1 行列式的性质#

行列式的推论#

1.2 行列式的计算#

1.3 克莱姆法则#

第二部分：矩阵#

2.1 矩阵的概念#

矩阵与行列式对比#

矩阵的定义#

几类特殊矩阵#

2.2 矩阵的加法、减法与数乘#

矩阵的加、减运算#

矩阵的数乘运算#

公因子提取对比#

数乘的运算规律#

2.3 矩阵的乘法#

定义#

矩阵乘法不满足的规律#

矩阵乘法满足的运算规律#

矩阵的可交换性#

2.4 方阵的幂#

恒成立公式#

方阵多项式#

2.5 矩阵的转置#

定义#

转置矩阵的性质#

对称矩阵与反对称矩阵#

对称矩阵#

反对称矩阵#

2.6 方阵的行列式#

方阵行列式的性质：#

2.7 方阵的伴随矩阵#

伴随矩阵的定义#

伴随矩阵的性质#

2.8 逆矩阵#

逆矩阵的定义#

矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法#

可逆矩阵的性质#

矩阵方程#

2.9 矩阵的初等变换#

定义#

行阶梯形矩阵#

2.10 初等矩阵#

定义#

性质#

初等矩阵与矩阵初等变换的关系#

2.11 矩阵的等价#

定义#

矩阵等价的性质#

矩阵等价的有关结论#

等价。#

2.12 初等变换法求逆矩阵#

具体步骤#

示例#

初等变换法解矩阵方程#

2.13 分块矩阵#

1.特殊的分块矩阵#

2.分块矩阵的运算#

3.分块矩阵的转置#

4.分块矩阵的逆矩阵#

5.分块矩阵的行列式#

分块三角矩阵的行列式性质#

2.14 矩阵的秩#

子式分析#

满秩矩阵与降秩矩阵#

矩阵秩的性质#

矩阵秩的求法#

第三部分：向量#

3.1 向量的概念与线性运算#

向量的概念#

向量的线性运算#

第一部分：行列式 #

第二部分：矩阵 #

第三部分：向量 #

第四部分：线性方程组 #

第五部分：特征值与特征向量 #

第六部分：二次型 #

n 元非齐次线性方程组 $Ax = b$ 解的判定#

一、齐次线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ #

二、非齐次线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ #

特征值的求法（公式： $|\lambda E - A| = 0$ ）#

步骤1：写出 $\lambda E - A$ #

步骤2：写出 $|\lambda E - A|$ #

步骤3：解特征方程 $|\lambda E - A| = 0$ #