概念性质#

1. 按行/列展开不变性：n阶矩阵 $A$ 的行列式按任意一行（列）展开，其值相等。

2. 两行（列）全相同则行列式为0：若n阶行列式有两行（列）对应元素全相等，则行列式值为0。

3. 行（列）的可拆分性：某一行（列）的元素为两数之和时，行列式可拆分为两个行列式之和。

4. 初等变换对行列式的影响：
   • 某一行（列）乘以数 $k$，行列式值变为原来的 $k$ 倍；
   • 某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列），行列式值不变；
   • 交换两行（列），行列式值变号。

5. 转置不变性：行列式与其转置行列式值相等，即 $\det A^T = \det A$。

6. 行列式的推论：若行列式的某一行（列）元素全为0，则行列式值为0；若行列式的某两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0。

7. 范德蒙德行列式：特殊行列式，结果为所有下标较大的元素减去下标较小的元素的乘积。

8. 拉普拉斯定理推论（分块行列式）：上三角分块、对角分块行列式等于对角线上各子块行列式的乘积；反对角分块行列式等于 $(-1)^{mn}|A||B|$。

9. 克拉默法则：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，则线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解 $x_j = \frac{\det A_j}{\det A}$。

10. 齐次线性方程组判定：对于 $Ax=0$，若 $\det A \neq 0$，方程组只有零解；若 $\det A = 0$，方程组有非零解。

公式#

1. $n$阶行列式定义：$D = \sum(-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np_n}$

2. 转置行列式：$\det A^T = \det A$

3. 行乘常数 $k$：$\det A_1 = k\det A$

4. 交换两行：$\det A_3 = -\det A$

5. 范德蒙德行列式：$V_n = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$

6. 上三角分块行列式：$\begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = |A||B|$

7. 对角分块行列式：$\begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = |A||B|$

8. 反对角分块行列式：$\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B|$

9. 克拉默法则：$x_j = \frac{\det A_j}{\det A}$（$j=1,2,\dots,n$）

概念性质#

1. 矩阵定义：$m \times n$ 的数表。

2. 同型矩阵：矩阵 $A$、$B$ 的行数和列数都相等。

3. 矩阵相等：$A=B \iff$ 是同型矩阵，且对应位置元素相等。

4. 特殊矩阵：方阵、行矩阵、列矩阵、零矩阵、负矩阵、上/下三角矩阵、对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵。

5. 矩阵加法运算规律：交换律 $A+B = B+A$，结合律 $(A+B)+C = A+(B+C)$，$A+O = A$，$A+(-A) = O$。

6. 矩阵数乘运算规律：$k(A+B) = kA + kB$，$(k+l)A = kA + lA$，$k(lA) = (kl)A$，$1A = A$，$(-1)A = -A$。

7. 矩阵乘法条件：$A_{m \times n}$ 与 $B_{p \times q}$ 相乘，需要 $n = p$，结果是 $m \times q$ 矩阵。

8. 矩阵乘法不满足交换律和消去律：$AB \neq BA$，$AB=AC$ 推不出 $B=C$，两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

9. 矩阵乘法满足的运算规律：结合律 $(AB)C = A(BC)$，分配律 $(A+B)C = AC + BC$ 和 $C(A+B) = CA + CB$，数乘结合律 $k(AB) = (kA)B = A(kB)$，单位矩阵性质 $AE = EA = A$。

10. 方阵的幂：$A^k = \underbrace{A \cdot A \cdot \dots \cdot A}_{k\text{个}}$，$A^0 = E$，$A^{k_1}A^{k_2} = A^{k_1+k_2}$，$(A^{k_1})^{k_2} = A^{k_1k_2}$。

11. 矩阵的转置：$(A^T)^T = A$，$(A+B)^T = A^T + B^T$，$(kA)^T = kA^T$，$(AB)^T = B^T A^T$。

12. 对称矩阵：$A^T = A$，即 $a_{ij} = a_{ji}$；同阶对称矩阵之和、差仍对称；$kA$、$A^m$ 仍对称；$AB$ 对称的充要条件是 $AB=BA$。

13. 反对称矩阵：$A^T = -A$，即 $a_{ij} = -a_{ji}$，主对角线元素全为0；同阶反对称矩阵之和、差仍反对称；$kA$ 仍反对称。

14. 方阵行列式性质：$|A^T|=|A|$，$|kA|=k^n|A|$，$|AB|=|A|\cdot|B|$，$|A^m|=|A|^m$。

15. 伴随矩阵：$AA^* = A^*A = |A|E$，$|A^*| = |A|^{n-1}$，$(A^T)^* = (A^*)^T$，$(kA)^* = k^{n-1}A^*$。

16. 逆矩阵：$A$ 可逆 $\iff |A| \neq 0$，$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$；$(A^{-1})^{-1}=A$，$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$，$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$，$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。

17. 矩阵方程解：$AX=C \Rightarrow X=A^{-1}C$，$XA=C \Rightarrow X=CA^{-1}$，$AXB=C \Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}$。

18. 初等矩阵：可逆，逆矩阵仍为同类型初等矩阵；$E(i,j)^{-1}=E(i,j)$，$E(i(k))^{-1}=E(i(1/k))$，$E(i,j(l))^{-1}=E(i,j(-l))$。

19. 矩阵等价：$A \cong B \iff$ 存在可逆矩阵 $P,Q$ 使 $PAQ=B \iff r(A)=r(B)$。

20. 矩阵的秩：非零子式的最高阶数，$0 \le r(A) \le \min(m,n)$；$r(A)=r(A^T)$，$r(kA)=r(A)\ (k \neq 0)$。

21. 矩阵秩的不等式：$r(A+B) \le r(A)+r(B)$，$r(AB) \le \min(r(A),r(B))$，$r(A)+r(B)-n \le r(AB)$。

22. 伴随矩阵的秩：当 $r(A)=n$ 时，$r(A^*)=n$；当 $r(A)=n-1$ 时，$r(A^*)=1$；当 $r(A)<n-1$ 时，$r(A^*)=0$。

公式#

1. 矩阵加法：$A+B = (a_{ij}+b_{ij})$

2. 矩阵数乘：$kA = (ka_{ij})$

3. 矩阵乘法：$AB = (\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj})$

4. 转置性质：$(AB)^T = B^TA^T$

5. 方阵行列式：$|kA| = k^n|A|$，$|AB| = |A||B|$

6. 伴随矩阵性质：$AA^* = A^*A = |A|E$，$|A^*| = |A|^{n-1}$

7. 逆矩阵公式：$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$

8. 逆矩阵性质：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$

9. 矩阵方程解：$AX=C \Rightarrow X=A^{-1}C$，$AXB=C \Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}$

10. 初等变换法求逆：$(A \mid E) \xrightarrow{\text{行}} (E \mid A^{-1})$

11. 分块三角行列式：$\begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = |A||B|$

12. 分块对角逆矩阵：$\mathrm{diag}(A,B,C)^{-1} = \mathrm{diag}(A^{-1},B^{-1},C^{-1})$

13. 秩的不等式：$r(A)+r(B)-n \le r(AB) \le \min(r(A),r(B))$

14. 矩阵乘积为零：$AB=O \Rightarrow r(A)+r(B) \le n$

15. 秩与转置：$r(A^T A)=r(AA^T)=r(A)$

16. 可逆矩阵不改变秩：若 $A$ 可逆，则 $r(AB)=r(B)$，$r(CA)=r(C)$

概念性质#

1. 向量的线性运算：加法 $\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = (a_1+b_1, \dots, a_n+b_n)$，数乘 $k\boldsymbol{\alpha} = (ka_1, \dots, ka_n)$。

2. 向量运算律：交换律、结合律、零向量性质、负向量性质、数乘结合律、分配律。

3. 线性组合：$k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m$。

4. 线性表示：若存在常数 $k_1,\dots,k_m$ 使 $\boldsymbol{\beta} = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m$，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组线性表示。

5. 线性表示与方程组的关系：$\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组表示 $\iff$ 方程组 $Ax=\boldsymbol{\beta}$ 有解。

6. 线性相关：存在不全为零的数 $k_1,\dots,k_n$ 使 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \dots + k_n\boldsymbol{\alpha}_n = \boldsymbol{0}$。

7. 线性无关：若 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \dots + k_n\boldsymbol{\alpha}_n = \boldsymbol{0}$，则 $k_1=\dots=k_n=0$。

8. 线性相关性性质：一个向量线性相关 $\iff \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$；两个向量线性相关 $\iff$ 对应分量成比例；部分组线性相关则整体线性相关；整体线性无关则部分组线性无关；含零向量的向量组必线性相关。

9. 极大线性无关组：满足线性无关且能表示向量组中任一向量的部分组。

10. 向量组的秩：极大线性无关组所含向量的个数。

11. 等价向量组：能互相线性表示的向量组，秩相等。

12. 矩阵的行秩与列秩：行秩 = 列秩 = $r(A)$。

公式#

1. 向量加法：$\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = (a_1+b_1, \dots, a_n+b_n)$

2. 向量数乘：$k\boldsymbol{\alpha} = (ka_1, ka_2, \dots, ka_n)$

3. 线性组合：$k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m$

4. 线性表示：$\boldsymbol{\beta} = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m$

5. 线性相关判定：$k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_n\boldsymbol{\alpha}_n = \boldsymbol{0}$（$k_i$ 不全为0）

6. 向量组的秩：$r(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_s)$ = 极大线性无关组向量个数

7. 矩阵秩与向量组秩：$r(A)$ = 矩阵列向量组的秩 = 矩阵行向量组的秩

8. 等价向量组秩关系：等价向量组的秩相等

概念性质#

1. 线性方程组的三种形式：一般形式、矩阵形式 $Ax=b$、向量形式 $x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \dots + x_n\boldsymbol{\alpha}_n = b$。

2. 非齐次线性方程组解的判定：
   • 有解 $\iff r(A) = r(\overline{A})$；
   • 有唯一解 $\iff r(A) = r(\overline{A}) = n$；
   • 有无穷多解 $\iff r(A) = r(\overline{A}) < n$；
   • 无解 $\iff r(A) \neq r(\overline{A})$。

3. 齐次线性方程组解的判定：
   • 有非零解 $\iff r(A) < n$；
   • 只有零解 $\iff r(A) = n$。

4. 齐次方程组解的性质：解的线性组合仍是解。

5. 非齐次方程组解的性质：两个解之差是导出组的解；解与导出组解之和仍是解。

6. 基础解系：线性无关且能表示所有解的解向量组，含 $n-r(A)$ 个向量。

7. 齐次方程组通解：$\boldsymbol{x} = c_1\boldsymbol{\xi}_1 + c_2\boldsymbol{\xi}_2 + \dots + c_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}$。

8. 非齐次方程组通解：$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha}_0 + c_1\boldsymbol{\xi}_1 + c_2\boldsymbol{\xi}_2 + \dots + c_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}$（$\boldsymbol{\alpha}_0$ 为特解）。

公式#

1. 矩阵形式：$Ax = b$（非齐次），$Ax = \boldsymbol{0}$（齐次）

2. 向量形式：$x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + x_n\boldsymbol{\alpha}_n = b$

3. 增广矩阵：$\overline{A} = (A \mid b)$

4. 非齐次解判定：$r(A) = r(\overline{A})$ 有解；$r(A) \neq r(\overline{A})$ 无解

5. 齐次解判定：$r(A) < n$ 有非零解；$r(A) = n$ 只有零解

6. 齐次通解：$\boldsymbol{x} = c_1\boldsymbol{\xi}_1 + c_2\boldsymbol{\xi}_2 + \dots + c_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}$

7. 非齐次通解：$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha}_0 + c_1\boldsymbol{\xi}_1 + c_2\boldsymbol{\xi}_2 + \dots + c_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}$

8. 基础解系向量数：$n - r(A)$

概念性质#

1. 特征值与特征向量定义：若 $A\boldsymbol{\alpha} = \lambda\boldsymbol{\alpha}$（$\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$），则 $\lambda$ 为特征值，$\boldsymbol{\alpha}$ 为特征向量。

2. 特征方程：$|\lambda E - A| = 0$。

3. 特征向量求法：解齐次方程组 $(\lambda E - A)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的非零解。

4. 特征值性质：
   • 特征值之和 = 矩阵迹：$\lambda_1+\dots+\lambda_n = a_{11}+\dots+a_{nn}$；
   • 特征值之积 = 行列式：$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = |A|$；
   • $A$ 可逆 $\iff$ 所有特征值不为0。

5. 矩阵变换后特征值：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $k\lambda$ 是 $kA$ 的特征值，$\lambda^m$ 是 $A^m$ 的特征值，$\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值，$\frac{|A|}{\lambda}$ 是 $A^*$ 的特征值。

6. 相似矩阵定义：若存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP = B$，则 $A \sim B$。

7. 相似矩阵性质：特征值相同，秩相等，行列式相等，迹相等；$A^{-1}\sim B^{-1}$，$A^*\sim B^*$，$A^m\sim B^m$。

8. 矩阵可对角化判定：$A$ 有 $n$ 个线性无关特征向量；或 $n$ 个互不相同特征值；或每个 $k$ 重特征值对应 $k$ 个线性无关特征向量。

9. 内积性质：非负性、对称性、齐次性、线性可加性。

10. 向量长度：$\|\boldsymbol{\alpha}\| = \sqrt{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})}$。

11. 正交向量组：两两正交的非零向量组，一定线性无关。

12. 施密特正交化：将线性无关向量组化为正交向量组。

13. 实对称矩阵性质：特征值都是实数，不同特征值的特征向量正交，必可对角化，可正交相似对角化。

公式#

1. 特征值定义：$A\boldsymbol{\alpha} = \lambda\boldsymbol{\alpha}$（$\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$）

2. 特征方程：$|\lambda E - A| = 0$

3. 特征向量方程：$(\lambda E - A)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$

4. 特征值之和：$\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n = \mathrm{tr}(A)$

5. 特征值之积：$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = |A|$

6. 相似矩阵定义：$P^{-1}AP = B$

7. 对角化公式：$P^{-1}AP = \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$

8. 向量内积：$(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}) = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n$

9. 向量长度：$\|\boldsymbol{\alpha}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

10. 单位化公式：$\boldsymbol{\beta} = \frac{1}{\|\boldsymbol{\alpha}\|}\boldsymbol{\alpha}$

11. 施密特正交化：$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1$，$\boldsymbol{\beta}_3 = \boldsymbol{\alpha}_3 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\beta}_2)}{(\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_2)}\boldsymbol{\beta}_2$

12. 正交相似对角化：$Q^TAQ = Q^{-1}AQ = \Lambda$（$Q$ 正交矩阵）

概念性质#

1. 二次型定义：$n$ 个变量的二次齐次多项式，$f(x_1,\dots,x_n) = \boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$（$A^T = A$）。

2. 标准形：只含平方项的二次型，$f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \dots + d_ny_n^2$。

3. 规范形：平方项系数仅为 $1,-1,0$ 的标准形，唯一。

4. 惯性定理：实二次型的规范形唯一，正惯性指数 $p$ 和负惯性指数 $q$ 固定不变。

5. 合同矩阵定义：若存在可逆矩阵 $C$ 使 $C^TAC = B$，则 $A \simeq B$。

6. 合同性质：秩相等，对称性同步，可逆性一致。

7. 化二次型为标准形方法：配方法（可逆变换）、正交变换法（标准形系数为特征值）。

8. 二次型定性分类：正定（$f > 0$）、负定（$f < 0$）、半正定（$f \ge 0$）、半负定（$f \le 0$）、不定。

9. 正定矩阵判定：正惯性指数 $p = n$；合同于 $E$；特征值全大于0；各阶顺序主子式全大于0（霍尔维茨定理）。

10. 正定矩阵性质：$A^T, A^{-1}, A^*$ 均正定；$kA(k>0)$、$A^m$ 正定；正定矩阵之和正定。

公式#

1. 二次型矩阵形式：$f = \boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$（$A^T = A$）

2. 二次型展开形式：$f = \sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2 + 2\sum_{1 \le i < j \le n} a_{ij}x_ix_j$

3. 标准形：$f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \dots + d_ny_n^2$

4. 规范形：$f = z_1^2 + \dots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \dots - z_r^2$

5. 二次型的秩：$r(f) = r(A)$

6. 合同矩阵定义：$C^TAC = B$

7. 惯性指数关系：$r = p + q$，符号差 = $p - q$

8. 正交变换化标准形：$f = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \dots + \lambda_ny_n^2$（$\lambda_i$ 为特征值）

9. 顺序主子式：$D_k = \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \dots & a_{kk} \end{vmatrix}$

10. 正定矩阵判定：$D_k > 0$（$k=1,2,\dots,n$）